「科学旧闻」里程碑式的证明解决了（或“确立了”）几何朗兰兹猜想
原文链接：Monumental Proof Settles Geometric Langlands Conjecture
在一项历时30年的工作中，数学家们证明了一个被称为“朗兰兹纲领”的深刻数学构想的一个主要部分。
在经典信号处理中，声波由正弦波构成，这些正弦波的频率对应于声音中包含的音高。仅仅知道声音包含哪些音高是不够的——你还必须知道每个音高的响度。这些信息使你能够将声音写成正弦波的组合：只需从振幅为1的正弦波开始，然后在将它们相加之前，将每个正弦波乘以适当的响度因子。所有不同振幅为1的正弦波的总和就是我们通常所说的白噪声。
在几何朗兰兹纲领的世界里，特征层（eigensheaves）应该扮演正弦波的角色。盖茨哥里（Gaitsgory）和他的合作者们已经识别出一种叫做庞加莱层（Poincaré sheaf）的东西，它似乎扮演着白噪声的角色。但研究人员不知道每个特征层是否都在庞加莱层中有所体现，更不用说它们是否都具有相同的“振幅”了。
2022年春天，拉斯金（Raskin）和他的研究生约阿基姆·费尔格曼（Joakim Færgeman）展示了如何利用六位作者论文中的思想来证明每个特征层确实对庞加莱层有贡献。“在萨姆（Sam，指Raskin）和约阿基姆的论文之后，我确信我们能在短时间内完成它，”盖茨哥里在谈到证明几何朗兰兹猜想时说。
研究人员需要证明所有的特征层对庞加莱层做出相同的贡献，并且基本群表示（fundamental-group representations）标记了这些特征层的“频率”。他们逐渐意识到，最棘手的部分是处理基本群中被称为不可约表示（irreducible representations）的表示。
这些不可约表示的解决方案是在拉斯金个人生活充满混乱的时刻出现的。在他和费尔格曼将论文发布到网上几周后，拉斯金不得不紧急将怀孕的妻子送往医院，然后回家送儿子去上幼儿园的第一天。拉斯金的妻子在医院一直待到六周后他们的第二个孩子出生，在此期间，拉斯金的生活重心围绕着为儿子维持正常生活，以及在家、儿子学校和医院之间无休止地驾车往返。“我的整个生活就是开车和照顾人，”他说。
他开始在开车途中给盖茨哥里打电话讨论数学。在那些周的第一周结束时，拉斯金意识到他可以将不可约表示的问题简化为证明三个触手可及的事实。“对我来说，那是一段奇妙的时期，”他说。他的个人生活“充满了对未来的焦虑和恐惧。对我来说，数学总是一种非常让我脚踏实地、如同冥想般的事物，能让我摆脱那种焦虑。”
到2023年初，盖茨哥里和拉斯金，以及阿林金（Arinkin）、罗森布鲁姆（Rozenblyum）、费尔格曼和其他四位研究人员，完成了对贝林森（Beilinson）和德林费尔德（Drinfeld）的“最佳期望”（best hope）的完整证明，该期望经过盖茨哥里和阿林金的修正。（其他研究人员是伦敦大学学院的达里奥·贝拉尔多（Dario Beraldo）、北京清华大学的陈麟（Lin Chen），以及芝加哥大学的贾斯汀·坎贝尔（Justin Campbell）和凯文·林（Kevin Lin）。）团队又花了一年时间撰写证明，并于今年二月将其发布在网上。虽然这些论文遵循了盖茨哥里在2013年制定的纲要的某些方面，但它们在许多方面既简化了他的方法，又超越了他的方法。“非常聪明的人们为这一顶峰成就贡献了许多新思想，”拉福格（Lafforgue）说。
“他们不仅仅是去证明了它，”本-兹维（Ben-Zvi）说。“他们在它周围发展出了整个世界。”
更远的彼岸
对盖茨哥里而言，他数十年梦想的实现远非故事的终点。一系列进一步的挑战等待着数学家们——更深入地探索与量子物理的联系，将结果扩展到带“刺点”（punctures）的黎曼曲面，并弄清楚其对“罗塞塔石碑”其他支柱的影响。“（至少对我而言）感觉更像是从一块巨石上敲下了一小片，但我们离核心还很远，”盖茨哥里在一封电子邮件中写道。
在另外两个支柱领域工作的研究人员现在渴望转化他们所能理解的内容。“其中一个主要部分已经取得突破，这一事实应该会在整个朗兰兹对应中产生重大反响，”本-兹维说。
并非所有东西都能移植过来——例如，在数论和函数域的背景下，没有对应于共形场论（conformal field theory）思想的东西，而正是这些思想使得研究人员能够在几何背景下构造特殊的特征层。伯克利的冯帆（Tony Feng）警告说，大部分证明需要进行重大调整才能适用于另外两个支柱。他说，这是否“能将这些思想移植到并非为其设计的不同背景中”还有待观察。
但许多研究人员持乐观态度，认为这股不断上涨的思想浪潮最终将触及这些其他领域。“它将渗透所有学科之间的壁垒，”本-兹维说。
在过去十年中，研究人员开始发现几何支柱与另外两个支柱之间出乎意料的联系。“如果[几何朗兰兹猜想]在10年前被证明，那么结果将大不相同，”冯帆说。“人们当时可能不会意识到它在[几何朗兰兹]社群之外也可能产生影响。”
盖茨哥里、拉斯金和他们的合作者们已经在将他们的几何朗兰兹证明转化为函数域支柱方面取得了进展。（拉斯金暗示，盖茨哥里和拉斯金在后者漫长的驾车途中所做的一些发现“尚待公布”。）如果成功，这种转化将证明一个比数学家们迄今所知甚至猜想的更为精确的函数域朗兰兹版本。
大多数从几何支柱到数论支柱的转化都需要途经函数域。但在2021年，巴黎朱西厄数学研究所的洛朗·法尔格（Laurent Fargues）和肖尔策（Scholze）设计了一种被肖尔策称为“虫洞”（wormhole）的方法，它将几何支柱的思想直接带到了数论朗兰兹纲领的一部分。
“我绝对是现在正试图转化所有这些几何朗兰兹内容的人之一，”肖尔策说。随着这股浪潮涌现出数千页的文本，这绝非易事。“我现在落后了几篇论文，”肖尔策说，“正试图阅读他们在2010年左右所做的工作。”
既然几何朗兰兹研究人员终于将他们冗长的证明写成了论文，卡拉亚尼（Caraiani）希望他们能有更多时间与数论方面的研究人员交流。“这些人思考问题的方式截然不同，如果他们能慢下来，相互交谈，看看对方的观点，总是有好处的，”她说。她预测，新工作的思想渗透到数论中只是时间问题。
正如本-兹维所说，“这些结果是如此的扎实（robust），以至于一旦开始，就很难停下来。”