「人物志」算术界的神谕-Peter Scholze
作者：艾丽卡·克拉里奇 2016年6月28日
28岁的彼得·舒尔茨正在揭示数论与几何学之间的深刻联系。
2010年，一则惊人的传闻在数论学界流传开来，并传到了贾里德·温斯坦的耳中。据说，德国波恩大学的一名研究生写了一篇论文，仅用37页就重构了《哈里斯-泰勒》——这本长达288页、专门阐述数论中一个艰深证明的著作。这位22岁的学生彼得·舒尔茨找到了一种方法，绕开了证明中最复杂的部分之一，该部分涉及数论与几何学之间广泛的联系。
“如此年轻的人竟能做出如此革命性的成果，实在令人惊叹，”现年34岁、任职于波士顿大学的数论学家温斯坦说道。“这让人深感自身的渺小。”
波恩大学的数学家们早在两年前就已聘请舒尔茨为正教授，他们早已意识到他非凡的数学头脑。在他发表了关于哈里斯-泰勒的论文后，数论和几何学领域的专家们也开始注意到舒尔茨。
从那时起，现年28岁的舒尔茨在更广泛的数学界声名鹊起。各种奖项的颁奖词称他为“已经是世界上最具影响力的数学家之一”和“几十年才出现一次的罕见天才”。他被认为是菲尔兹奖（数学界的最高荣誉之一）的热门人选。
舒尔茨的关键创新——一类他称之为“珀费克托德空间”(perfectoid spaces)的分形结构——才问世几年，但已在数论与几何学相结合的算术几何领域产生了深远的影响。温斯坦说，舒尔茨的工作具有先见之明。“他甚至能在（数学）发展开始之前就预见到。”
与舒尔茨合著过论文的密歇根大学数学家巴尔加夫·巴特表示，许多数学家对舒尔茨的反应是“一种混合了敬畏、恐惧和兴奋的情绪”。
这并非因为他的个性——同事们一致形容他脚踏实地、慷慨大方。“他从不让你觉得他，嗯，在某种程度上远在你之上，”舒尔茨在波恩大学的同事欧根·赫尔曼说。
相反，这是因为他洞察数学现象本质的那种令人不安的能力。与许多数学家不同，他往往不是从一个他想解决的特定问题开始，而是从某个他纯粹为了理解本身而想要搞懂的难以捉摸的概念入手。但是，普林斯顿大学与舒尔茨合作过的数论学家安娜·卡拉亚尼说，他创造的结构“结果在当时无法预料的无数其他方向上都有应用，仅仅因为它们恰好是值得思考的‘正确’对象。”
学习算术
舒尔茨14岁时就开始自学大学水平的数学，当时他就读于柏林一所专攻数学和科学的海因里希·赫兹文理中学。舒尔茨说，在海因里希·赫兹，“如果你对数学感兴趣，你不会被视为异类。”
16岁时，舒尔茨得知十年前安德鲁·怀尔斯证明了著名的17世纪问题——费马大定理，该定理指出方程 xⁿ + yⁿ = zⁿ 在n大于2时没有非零整数解。舒尔茨渴望学习这个证明，但很快发现，尽管问题本身很简单，其解法却使用了当时最前沿的数学知识。“我什么都不懂，但这真的非常迷人，”他说。
于是舒尔茨反向学习，弄清楚自己需要学习什么才能理解这个证明。“直到今天，这在很大程度上仍然是我的学习方式，”他说。“我从未真正系统学习过像线性代数这样的基础知识——我只是通过学习其他东西才逐渐掌握了它。”
当舒尔茨深入研究这个证明时，他被其中涉及的数学对象所吸引——这些被称为模形式和椭圆曲线的结构，神秘地统一了数论、代数、几何和分析等不同领域。他说，了解这些对象的类型本身，或许比问题本身更令人着迷。
舒尔茨的数学品味正在形成。如今，他仍然倾向于那些根植于关于整数的基本方程的问题。这些非常具体的根源使得即使是深奥的数学结构对他来说也感觉很具体。“归根结底，我感兴趣的是算术，”他说。他说，当他的抽象构造最终引导他回到关于普通整数的小发现时，他是最快乐的。
高中毕业后，舒尔茨继续在波恩大学追求他对数论和几何学的兴趣。他的同学赫尔曼回忆说，在大学的数学课上，舒尔茨从不记笔记。赫尔曼说，舒尔茨能够实时理解课程内容。“不仅仅是理解，而是真正在某种深层次上理解，所以他也不会忘记。”
舒尔茨开始在算术几何领域进行研究，该领域使用几何工具来理解多项式方程（如 xy² + 3y = 5 这类只涉及数字、变量和指数的方程）的整数解。对于某些这类方程，研究它们在被称为p进数 (p-adic numbers) 的替代数系中是否有解是富有成效的。p进数与实数类似，是通过填补整数和分数之间的“空隙”构建的。但这些数系基于一种非标准的关于“空隙”在哪里以及哪些数彼此接近的概念：在p进数系统中，两个数被认为是接近的，并非因为它们的差值很小，而是因为这个差值能被p整除很多次。
这是一个奇怪的标准，但很有用。例如，3进数提供了一种自然的方式来研究像 x² = 3y² 这样的方程，其中因子3是关键。
p进数“与我们的日常直觉相去甚远，”舒尔茨说。然而，多年来，它们对他来说已经变得很自然。“现在我觉得实数比p进数要令人困惑得多。我已经太习惯p进数了，以至于现在实数感觉非常奇怪。”
数学家们在1970年代注意到，如果通过创建一个无限的数系塔来扩展p进数，其中每个数系都像包裹纸一样在下面的数系上缠绕p次，而p进数位于塔底，那么许多关于p进数的问题会变得更容易。在这个无限塔的“顶端”是最终的缠绕空间——一个分形对象，它是舒尔茨后来发展的珀费克托德空间的最简单例子。
舒尔茨给自己设定的任务是弄清楚为什么这种无限缠绕构造使得许多关于p进数和多项式的问题变得更容易。“我试图理解这种现象的核心，”他说。“当时没有通用的形式体系可以解释它。”
他最终意识到，可以为各种各样的数学结构构建珀费克托德空间。他证明，这些珀费克托德空间使得将关于多项式的问题从p进世界“滑动”到另一个算术运算简单得多的数学宇宙成为可能（例如，在进行加法时不必进位）。“珀费克托德空间最奇特的特性是它们可以在两个数系之间神奇地移动，”温斯坦说。
这一洞见让舒尔茨证明了关于多项式p进解的一个复杂命题的一部分，即权重单值性猜想 (weight-monodromy conjecture)，这成为了他2012年的博士论文。温斯坦说，这篇论文“影响深远，成为世界各地学习小组的研究课题”。
赫尔曼说，舒尔茨“找到了精确且最简洁的方式来整合所有先前完成的工作，并为其找到一个优雅的表述——然后，因为他确实找到了正确的框架，他远远超越了已知的成果。”
飞越丛林
尽管珀费克托德空间非常复杂，舒尔茨却以其讲座和论文的清晰度而闻名。“在彼得向我解释之前，我其实什么都弄不懂，”温斯坦说。
卡拉亚尼说，舒尔茨特别注意将他的想法解释到即使是刚入门的研究生也能跟上的水平。“在思想方面，有一种开放和慷慨的感觉，”她说。“而且他不仅仅是对少数资深人士这样做，实际上，很多年轻人都能够接触到他。”卡拉亚尼说，舒尔茨友好、平易近人的风度使他成为其领域的理想领导者。有一次，她和舒尔茨与一群数学家进行一次艰难的徒步旅行，“他是那个跑来跑去确保每个人都跟上并照看每个人的人，”卡拉亚尼说。
然而，赫尔曼说，即使有舒尔茨的解释，珀费克托德空间对其他研究人员来说仍然难以掌握。“如果你稍微偏离他设定的路径或方式，你就会身处丛林之中，实际上非常困难。”但赫尔曼说，舒尔茨本人“绝不会在丛林中迷失，因为他从不试图与丛林搏斗。他总是在寻找全局视野，寻找某种清晰的概念。”
舒尔茨通过强迫自己飞越丛林藤蔓来避免被缠住：就像他在大学时一样，他更喜欢在不写下任何东西的情况下工作。他说，这意味着他必须以尽可能简洁的方式阐述他的想法。“你的头脑容量是有限的，所以你不能做太复杂的事情。”
虽然其他数学家现在开始努力理解珀费克托德空间，但毫不奇怪，关于它们的一些最深远的发现来自于舒尔茨和他的合作者。2013年，他在网上发布的一个结果“确实让整个学界感到震惊，”温斯坦说。“我们完全不知道这样一个定理即将问世。”
舒尔茨的结果扩展了被称为互反律 (reciprocity laws) 的规则范围，这些定律支配着使用时钟算术（不一定是12小时制的时钟）的多项式的行为。时钟算术（例如，在12小时制的时钟上，8 + 5 = 1）是数学中最自然、研究最广泛的有限数系。
互反律是已有200年历史的二次互反律 (quadratic reciprocity law) 的推广，后者是数论的基石，也是舒尔茨个人最喜欢的定理之一。该定律指出，给定两个素数p和q，在大多数情况下，p在以q为模（小时数）的“时钟”上是完全平方数，当且仅当q在以p为模的“时钟”上是完全平方数。例如，5在以11为模的“时钟”上是完全平方数，因为 5 ≡ 16 = 4² (mod 11)；同时11在以5为模的“时钟”上也是完全平方数，因为 11 ≡ 1 = 1² (mod 5)。
“我觉得这非常令人惊讶，”舒尔茨说。“表面上看，这两件事似乎毫无关联。”
“你可以将现代代数数论的很多内容解释为仅仅是推广这一定律的尝试，”温斯坦说。
在20世纪中叶，数学家们发现了互反律与一个看似完全不同的主题——双曲几何 (hyperbolic geometry) 之间惊人的联系，后者涉及像M.C.埃舍尔著名的圆盘天使恶魔镶嵌那样的图案。这种联系是“朗兰兹纲领” (Langlands program) 的核心部分，该纲领是一系列相互关联的猜想和定理，关乎数论、几何和分析之间的关系。当这些猜想能够被证明时，它们通常威力巨大：例如，费马大定理的证明最终归结为解决朗兰兹纲领中一个虽小（但极其不平凡）的部分。
数学家们逐渐意识到，朗兰兹纲领远远超出了双曲圆盘的范围；它也可以在更高维的双曲空间和各种其他背景下进行研究。现在，舒尔茨已经展示了如何将朗兰兹纲领扩展到“双曲三维空间”（双曲圆盘的三维模拟）及更广范围内的多种结构。通过构建双曲三维空间的珀费克托德版本，舒尔茨发现了一整套全新的互反律。
“彼得的工作确实彻底改变了我们能做的事情，我们能触及的领域，”卡拉亚尼说。
温斯坦说，舒尔茨的结果表明，朗兰兹纲领“比我们想象的更深刻……它更系统化，无处不在。”
快进
因其在珀费克托德空间方面的工作而闻名，28岁的舒尔茨被称为“世界上最具影响力的数学家之一”。
据温斯坦说，与舒尔茨讨论数学就像咨询“真理神谕”。“如果他说‘是的，这行得通’，你可以对此充满信心；如果他说不行，你应该立刻放弃；如果他说他不知道——这种情况确实会发生——那么，好吧，你很幸运，因为你手上有一个有趣的问题。”
然而，卡拉亚尼说，与舒尔茨合作并不像预期的那样紧张。她说，当她与舒尔茨一起工作时，从未有过匆忙的感觉。“感觉我们似乎总是在用正确的方式做事——以最好的方式证明我们能证明的最普遍的定理，进行能够阐明事物的正确构造。”
不过，有一次舒尔茨自己确实很匆忙——那是2013年底，在他女儿出生前不久，他正试图完成一篇论文。他说，幸好当时他逼了自己一把。“之后我就没完成多少工作了。”
舒尔茨说，成为父亲迫使他在如何利用时间方面变得更加自律。但他不必特意为研究留出时间——数学自然而然地填补了他其他责任之间的所有空隙。“我想，数学是我的热情所在，”他说。“我总是想思考它。”
然而，他完全不倾向于将这种热情浪漫化。当被问及是否觉得命中注定要成为一名数学家时，他表示异议。“这听起来太哲学化了，”他说。
他是一个注重隐私的人，对于自己日益增长的名气感到有些不自在（例如，他在三月份成为德国著名的莱布尼茨奖有史以来最年轻的获得者，该奖项提供250万欧元用于未来的研究）。“有时这有点让人不知所措，”他说。“我努力不让我的日常生活受其影响。”
舒尔茨继续探索珀费克托德空间，但他也已涉足涉及代数拓扑学（使用代数研究形状）的其他数学领域。“在过去一年半的时间里，彼得已经完全掌握了这个学科，”巴特说。“他改变了（专家们）对它的思考方式。”
巴特说，当舒尔茨进入其他数学家的领域时，这可能令人恐惧，但也令人兴奋。“这意味着这个学科将会飞速发展。我欣喜若狂，因为他在一个与我相近的领域工作，所以我能亲眼看到知识的前沿在向前推进。”
然而，对舒尔茨来说，他迄今为止的工作仅仅是热身。“我仍然处于试图学习现有知识，并或许用我自己的语言重新表述它的阶段，”他说。“我不觉得我已经真正开始了研究。”
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