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探寻数学的深邃与联结：彼得·舒尔茨的学术之旅与思想洞察

数学世界观的形成：从柏林到波恩的求索

每一位思想者的旅程，都始于一个特定的时空原点。对于彼得·舒尔茨（Peter Scholze）而言，这个原点是柏林一所带有苏联时代印记的特殊学校，在那里，数学和自然科学被赋予了独特的地位。这片沃土孕育了众多杰出的数学家，其中不乏代数几何领域的翘楚。正是这段高中时期的经历，点燃了舒尔茨对代数几何的炽热兴趣。在完成了高中学业后，他选择留在德国，前往波恩大学深造，并在导师迈克尔·罗克波特（Michael Rapoport）的指导下，于2012年完成了博士学业。从克莱研究员到波恩大学教授，再到马克斯·普朗克数学研究所（MPIM）的主任，舒尔茨的职业生涯轨迹，清晰地勾勒出他与算术几何（Arithmetic Geometry）之间不可分割的联系。他始终将自己定义为一位算术几何学家，即使涉猎其他领域，也多是为了将其应用于算术几何中的特定问题，这体现了他对核心研究方向的专注与热爱。

理解的艺术：数学探索的终极目的

在舒尔茨的数学世界里，“理解”是超越一切的终极目标。他认为，深入理解一个概念，往往需要从一个更抽象的视角去审视，这自然而然地促使他去构建新的框架。然而，这些新框架的起点，却常常是那些看似“非常具体”的计算。这揭示了一个深刻的数学洞察：抽象与具体并非对立，而是相互滋养，共同推动着理解的深化。

他特别提到，他渴望理解“整数谱”（spectrum of integers）的几何结构，一个自20世纪60年代以来就被认为在许多方面都类似于三维流形（three-dimensional manifold）的基本空间。这个领域充满了各种类比，虽然有些模糊，但舒尔茨致力于不断地深化这种图像的理解。他这种对“理解”的执着，不仅是他个人学术生涯的驱动力，也为所有追求知识真谛的人提供了一个启发性的范式。

朗兰兹纲领的演变：从数域到几何的奇妙联结

朗兰兹纲领（Langlands program）是现代数学中最宏大、最具影响力的项目之一。舒尔茨以一个生动的例子阐述了其演变过程：他曾一度试图摆脱朗兰兹纲领的“束缚”，转而探索其他数学分支，却不曾想，这些看似偏离的探索，最终又以意想不到的方式回归到朗兰兹纲领之中，这让他不禁感叹数学的内在联结。

最初，朗兰兹本人构想的纲领主要关注有理数域（rational numbers）上的数论与自守形式（automorphic forms）。然而，安德烈·韦伊（Andre Weil）在20世纪40年代就强调的数域与有限域上的函数域（function fields over finite fields）之间的强烈类比，极大地拓宽了朗兰兹纲领的应用范围。德林费尔德（Drinfeld）等数学家的工作，将朗兰兹纲领推广到函数域上。随着研究的深入，人们意识到，当涉及有限域上的曲线时，甚至可以将其推广到代数闭域（algebraically closed field）上的曲线，乃至复数域上的黎曼曲面（Riemann surfaces），从而催生了“几何朗兰兹纲领”（geometric Langlands program）。几何朗兰兹纲领在某种意义上更为几何化，但其关注的对象上升了一个范畴学（categorical level）的层次，从自守函数变为了自守层（automorphic sheaves），甚至是这些层的整个范畴。

近十年来，一个“虫洞”般的联结在不同数学世界间被创造出来。约翰-马克·方丹（Jean-Marc Fontaine）和洛朗·福尔（Laurent Fargues）引入了“方丹-福尔曲线”（Fontaine-Fargues curve），最初源于p-adic理论的考量。福尔的一个天才想法是，可以在这条曲线上尝试几何朗兰兹纲领，这竟然揭示出它与朗兰兹纲领的原始设定（至少是局部部分）之间存在着一种惊人的对应关系，为这两个看似迥异的领域搭建了一座桥梁。

理论的构建与合作的惊喜：Stücker理论与凝聚数学

舒尔茨正在尝试构建一种新的Stücker理论，以适应数域的情况，这与动机理论（theory of motives）和志村簇（Shimura varieties）等有着深刻的联系。这项工作面临巨大挑战，因为这种理论的存在性本身并不明朗。为了解决这些问题，他正与达斯汀·克劳森（Dustin Clausen）共同发展一种“解析叠”（analytic stacks）和“凝聚数学”（condensed mathematics）的新几何理论，希望能为这些抽象的空间提供一个存在的框架。

在谈及合作时，舒尔茨分享了一个令人惊喜的故事。在马克斯·普朗克数学研究所，他意外地与扎吉尔（Zagir）和加弗（Gafer）合作，共同解决了一个他曾一度放弃的问题——“哈比拉环”（Habiro ring）。这个环是单位根周围幂级数的一种有趣结构，在MPIM非常流行。舒尔茨曾尝试为数域的哈比拉环构建同调理论，但一直未能成功。然而，扎吉尔和加弗带着他们发现的一些有趣的幂级数前来，他们并不知道舒尔茨对哈比拉环的了解，试图循序渐进地介绍，最终却发现舒尔茨已经有了现成的理论。这次合作将微扰复数陈-西蒙斯理论（perturbative complex Chern-Simons theory）与p-adic理论联系起来，带领舒尔茨进入了全新的数学领域，尽管他坦言这仍然令他感到“非常困惑”，但这证明了合作的力量和跨领域交流的价值。

灵光乍现与形式化的挑战：拓扑循环同调与Lean证明辅助

数学的突破往往伴随着“尤里卡时刻”（Eureka moments），但舒尔茨也指出，这种时刻常常转瞬即逝，两天后就可能被证明是错误的。他分享了自己理解“拓扑循环同调”（topological cyclic homology）的经历。最初，他被其所使用的“等变稳定同伦理论”（equivariant stable homotopy theory）的复杂性所困扰，特别是其中“等变性”概念的独特用法。然而，在大量计算之后，他突然发现了其中的模式，并意识到即使只使用最朴素的结构，也能理解整个拓扑循环同调。这最终与托马斯·尼古劳（Thomas Nikolaus）的讨论证实了这一发现，成为了他个人的一个“尤里卡时刻”。

关于数学形式化，尤其是“液态张量实验”（Liquid Tensor Experiment）中使用的Lean证明辅助（Lean proof assistant），舒尔茨认为这是一个令人印象深刻的成就，但他对此持谨慎态度。尽管他参与了相关讨论，但他从未亲自使用Lean。他意识到，形式化并不能提供完全的信心。例如，当一个定理被证明时，你仍然需要验证所有定义是否真的符合你的预期。他曾尝试检查所有定义，但发现即使是这项任务也因为代码量过大和语法细节而变得不可能。因此，他认为要真正相信一个Lean形式化的证明，他可能仍然需要自己去理解整个证明过程，这表明了形式化工具在完全取代人类直觉和理解方面的局限性。

数学家的生活轨迹：专注、开放与不期而遇的合作

舒尔茨谦虚地表示，他的人生轨迹很早就设定在了数学的道路上，以至于很难想象一个没有数学的平行宇宙。他的“B计划”是成为一名高中教师，这显示了他对教育的热情。在繁忙的数学研究和研究所生活中，他发现很难有时间培养爱好，但他喜欢听音乐和参加音乐会。

对于合作，舒尔茨认为这是一个非常个人化的过程，没有普适的建议。但他强调自己乐于分享想法，正是这种开放性吸引了合作者。他与巴拉夫（Barav）的合作就是一个例子。巴拉夫主动提出要合作发展“原位”（proto-site）理论，这项工作后来演变为“凝聚数学”的萌芽，而起初他们都没有意识到其深远的影响。这段经历还伴随着一个有趣的插曲：达斯汀·克劳森最初对巴拉夫和舒尔茨的这篇论文不以为然，认为其“无聊”，后来却独立地提出了凝聚数学的形式化，最终被舒尔茨说服他只是“重新发明了原位”。

舒尔茨还提到他与托马斯·尼古劳斯的合作，他们从不同的领域（理论物理和数论）出发，最终却在代数拓扑领域共同撰写了论文。在马克斯·普朗克数学研究所，每天下午四点的茶歇时间，是数学家们交流思想、寻求跨领域专家建议的宝贵机会。在这种充满数学氛围的环境中，“你呼吸的都是数学”，这正是像舒尔茨这样的思想者能够不断突破边界、深化理解的关键。

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