关于阿·N·科尔莫戈罗夫的教育遗产

15 Apr, 2025

原文见：О педагогическом наследии А. Н. Колмогорова

А·М·阿布拉莫夫

本文是对阿·N·科尔莫戈罗夫的教育类文章和书籍的评论，旨在尝试梳理其工作的主要周期，并为后续的详细分析勾勒可能的方向。同时，本文仅涉及“学校”相关的主题。阿·N·科尔莫戈罗夫教育遗产的其他方面，如创建科学学派、与学生的工作等，需要专门探讨。

在撰写本文的过程中，许多关心苏联学校命运、珍视安德烈·尼古拉耶维奇记忆的人们给予了我巨大的帮助。我特别感谢阿·Д·科尔莫戈罗娃、И·М·盖尔范德、Б·В·格涅坚科、А·П·叶尔绍夫、О·С·伊瓦舍夫-穆萨托夫、Г·Г·马斯洛娃、А·В·普罗霍罗夫、Ю·В·普罗霍罗夫、В·М·季霍米罗夫、В·А·乌斯宾斯基、В·В·菲尔索夫、А·С·切尔卡索夫、А·Н·希里亚耶夫、И·М·雅格洛姆。与他们的交谈使我得以澄清许多事实和立场。

1. 源起。

在其文章《如何使学校教学与科学进步相协调》¹中，Э·博雷尔指出：“只有在极少数情况下，我们才能很好地教会那些我们自己作为学生时没有学过的东西。”这一观察反映了个人学习经验对每位教育者产生的强烈影响这一不争的事实，与安德烈·尼古拉耶维奇·科尔莫戈罗夫的教育创造力有着最直接的关系。无论是在他的一系列著作中，还是在许多公开演讲和谈话中，他都经常回顾自己的早期童年、就读的中学以及初为人师的经历。因此，有必要突出他生命中这些时期的一些特点（亦可参见本期发表的В·М·季霍米罗夫的文章）。

阿·N·科尔莫戈罗夫于1910年至1918年就读于Е·А·列普曼私立中学。中学的教师们成功营造了一种氛围，使得学校生活非常丰富，学习课程极大地激发了学生的兴趣。学习的责任感很强。正如安德烈·尼古拉耶维奇所言：“在‘学区代表’参与的考试中取得优异成绩，被我们视为责任和荣誉。”教学组织形式很独特。“有一段时间，我在数学方面可以比其他科目高一个年级学习”[3.26, 第7页]。学校生活的安排使得中学生的全面文化发展得到了高度重视，而他们自己也乐于根据兴趣进行“超纲”学习。

如今很难还原阿·N·科尔莫戈罗夫究竟是如何开始学习数学的。众所周知，除了中学的必修课外，他还大量阅读（安德烈·尼古拉耶维奇本人特别提到布罗克豪斯和叶夫龙百科全书中的数学文章，以及《数学和实验物理教师通讯》上的文章）。但他当时的兴趣远不止于数学。对此他写道：“不过，有一段时间，对其他科学的兴趣占了上风。К·А·季米里亚泽夫的《植物的生活》这本书首次让我深刻感受到科学研究的力量和重要性。后来，我和我的一个朋友（Н·А·谢利维尔斯托夫）一起迷上了历史和社会学。这种迷恋是如此认真，以至于我在十七岁时在莫斯科大学做的第一个学术报告，就是在С·В·巴赫鲁申教授的研讨会上关于诺夫哥罗德土地所有权的报告。顺便说一句，在这份报告中，（在分析十四至十五世纪的土地清册时）使用了一些数学理论的方法”[3.26, 第7页]。

安德烈·尼古拉耶维奇逝世后，他第一篇科学论文《十五世纪诺夫哥罗德土地所有权》的手稿被发现。这份篇幅相当可观（约5个印张）的手稿，对于历史科学具有显著的研究价值（根据专业历史学家的意见），并将予以发表。

在此必须指出以下几点。

对阿·N·科尔莫戈罗夫第一篇科学论文的分析表明，早在17岁时，他不仅表现出对科学活动的明显兴趣，而且形成了扎实的专业技能——分析能力（该研究是对数量巨大且性质各异、内容并非总是清晰的土地清册文本进行处理的结果）、抓住要点的能力、清晰表述并论证最终结论的技巧。这篇历史论文出自一位未来的数学家之手：其典型特征是——特别注重寻找精确的定义，力求论证所发现的规律性。

值得注意的是，“概率”一词似乎在安德烈·尼古拉耶维奇的这篇论文中首次出现；文中给出了初步概率性质的计算，表明与安德烈·尼古拉耶维奇提出的版本相悖的其他假说应被否定。论文中进行了数值估算，给出了数量上的上限和下限评估。

安德烈·尼古拉耶维奇的首次个人教学经历是在1922年至1925年，当时他还是莫斯科大学的学生：“我对在俄罗斯苏维埃联邦社会主义共和国人民教育委员会波特利欣实验示范学校的工作记忆犹新，充满愉快。我教授数学和物理（当时人们不害怕让十九岁的教师同时教两门课），并积极参与学校生活（担任学校理事会秘书和寄宿部辅导员）”[3.26, 第9页]。Е·А·列普曼中学和波特利欣学校的许多特色，后来成为了莫斯科国立大学第18号物理数学寄宿学校的重要组成部分，这所学校在安德烈·尼古拉耶维奇生前就被称为科尔莫戈罗夫学校。

在阿·N·科尔莫戈罗夫与学校相关的活动中，可以区分出两个主要方向。其一是与“优等生”的工作，即与那些对数学表现出兴趣和能力的学生打交道。另一个方向是与在普通中等教育学校设置数学课程相关的工作。

在描述第一个方向时，自然可以分出几个独立的主题：“奥林匹克竞赛”、“暑期学校”、“莫斯科国立大学附属物理数学学校”、“学生读物”、“高年级分层教学问题”。（此处本应也包括“选修课程”主题，但最好稍后在普通学校数学教育问题的背景下讨论。）

2. 奥林匹克竞赛。

在分析А·Н·科尔莫戈罗夫的文献目录时，我们经常遇到这样的情况：关于某个主题的出版物不多，尽管众所周知，在这个方向上的实际工作量非常大。例如，仅有安德烈·尼古拉耶维奇的一篇文章与奥林匹克竞赛直接相关，以及他担任编辑的两本奥赛题集的前言（[1.51], [5.11], [5.20]）。（当然，此处还应包括散见于各篇文章中的一些零星评论。）但实际所做的工作要多得多。

众所周知，苏联的第一届数学奥林匹克竞赛是1934年在列宁格勒由Б·Н·德洛涅发起举办的。奥林匹克运动在第二届全苏数学大会上得到了积极支持²。1935年，第一届莫斯科数学奥林匹克竞赛举行，其组委会成员包括П·С·亚历山德罗夫（主席）、Л·А·柳斯捷尔尼克、А·Н·科尔莫戈罗夫、Л·Г·施尼雷尔曼等。安德烈·尼古拉耶维奇也积极参与了随后的许多届莫斯科奥赛，尽管根据长期实行的定期更换领导的传统，他仅在1937年、1951年、1963年和1975年担任组委会主席。

在主持组委会工作时，安德烈·尼古拉耶维奇不仅仅是引导题目讨论——他深入探究题目的实质，提出修改措辞的建议，有时甚至亲自出题。他对批改试卷、确定获奖者也同样一丝不苟。

这套工作体系在后来举办全俄（1961年起）乃至全苏（1967年起）数学奥林匹克竞赛时得以保留。多年来，安德烈·尼古拉耶维奇领导着负责为共和国级和全苏级奥赛选拔题目的方法委员会。在1970年（辛菲罗波尔）、1978年（塔什干）、1980年（萨拉托夫）和1982年（敖德萨），他担任全苏奥赛的评委会主席，并亲赴决赛举办地。

安德烈·尼古拉耶维奇高度重视奥林匹克竞赛，将其视为发现有才华的孩子的有效途径，但他认为竞赛不应带有纯粹的竞技性质。奥林匹克运动的目标是引导有天赋的孩子接触数学，而不是针对特定类型的题目进行应试训练或培养“冠军”。因此，他更关注的不是竞赛本身，而是准备工作，首要的是为中学生举办讲座、组织兴趣小组，他认为这些活动的主题绝不应局限于解奥赛题。他的一段评论很值得注意：

“为自己在奥赛中取得的成功感到高兴甚至自豪是很自然的。但奥赛中的失败不应过度令人沮丧，也不应导致对自己能力的失望。仅仅是解决问题的时间非常有限这一点，就让许多人束手无策。但也存在一些数学问题，只有通过非常长期和平静的思考以及新概念的形成才能解决。许多这类问题是由杰出的苏联拓扑学家П·С·亚历山德罗夫解决的。帕维尔·谢尔盖耶维چ·亚历山德罗夫曾多次表示，如果在他年轻时有数学奥林匹克竞赛，那么他或许根本不会成为数学家——他在数学上的主要成就并非快速创造力的产物，而是长期深入沉思的结果”[3.26, 第65页]。

有一次在交谈中，安德烈·尼古拉耶维奇半开玩笑地提到，为了发掘未来的数学家，除了奥赛之外，还应该举办其他类型的竞赛，类似于以前为中国官员举行的考试：给考生一个实际任务，需要相当长的时间（几天）来完成，在此期间他完全独处（同时通过一个特殊的小窗口定期提供足够热量的食物）。

安德烈·尼古拉耶维奇还痛心地指出，那些在中学时代在奥赛中大放异彩的“奥赛选手”常常停留在奥赛题的水平上——他们能成功解决需要巧妙思路的题目，但未能深入到需要长期思考和大量工作的数学问题的解决。

因此，毫不奇怪，尽管他全力支持奥赛，安德烈·尼古拉耶维奇却更重视那些能将中学生引入严肃科学世界的定期讲座。在奥赛期间，他本人就做了许多这样的讲座³。1937年，在他题为《代数基本定理》的讲座中，他基本上给出了该定理的完整证明，这后来成为了兴趣小组的经典内容。1936/37学年，安德烈·尼古拉耶维奇在莫斯科国立大学数学兴趣小组中负责定性几何部分。他喜欢在奥赛结束后与中学生一起分析题目，并善于将这种讨论引向严肃数学的轨道。

А·Н·科尔莫戈罗夫为学生和教师做了无数场讲座。究竟有多少场？主题是什么？讲稿是否保存下来？——这些问题留给读者，希望能恢复一些资料。

3. 暑期学校。

为了发展天赋、激发青少年对科学活动的兴趣，仅靠奥林匹克竞赛是不够的。奥赛题目具有感染力。用那些允许简短解答的漂亮题目吸引中学生相对容易。但培养他们系统工作的习惯则是一项 wesentlich (德语: 本质上) 更困难的任务。必须寻找与中学生工作的新形式。

安德烈·尼古拉耶维奇正确地认为（并且他显然是以自己作为中学生和青年教师的个人经历为导向），非常重要的不仅是准备有趣且中学生能够理解的、内容丰富的数学材料，还要创造一种真正的对事业的热忱氛围，一种科学探索的氛围。在他看来，这需要师生之间更紧密、更持久的接触，并且至关重要的是，教师队伍中既要有完全成熟的职业数学家，也要有年轻、有能力的博士生和大学生，在一定的初步指导下，可以也应该信任他们与中学生一起工作。剩下的就是挑选这样的人才并找到合适的工作形式——于是就诞生了暑期数学学校，将奥赛获奖者在一个假期月份里聚集起来进行数学学习和休息，稍后又出现了大学附属的物理数学学校。

安德烈·尼古拉耶维奇不仅是暑期学校组织的发起者之一——实际上他决定了它们的性质，并从1963年8月起，在莫斯科近郊的克拉斯诺维多沃村莫斯科国立大学疗养院基地上为学生组织的暑期数学学校开始，就积极地在许多这样的学校工作。А·Н·科尔莫戈罗夫还在1964年、1965年、1968年和1970年在克拉斯诺维多沃工作，而在莫斯科国立大学物理数学学校的暑期学校“搬迁”到普希诺后，他多次前往那里，并在1971年、1972年、1975年和1977年完整地度过了整个学期（24天）。1965年，安德烈·尼古拉耶维奇在克里米亚小科学院的暑期学校任教，1968年则在鲁别克湖的暑期学校任教[3.10]。

对暑期学校工作的描述，自然应以第一所克拉斯诺维多沃学校为例。当时选拔了46名第二届全俄奥赛的获奖者和优胜者，他们是九年级和十年级的毕业生（当时学校是十一年制）。实际的教学活动每天大约有4-5节课，其中3-4节在上午，1-2节在下午（通常是选修课）。同时开设了几门主要课程，学生需要选择两门必修课——并需通过考核（八月份得知莫斯科国立大学物理数学学校即将开学，因此这些考核实质上成为了选拔性考试——后来这一传统得以保留）。А·Н·科尔莫戈罗夫讲授了一个约10课时的课程《有限域与布尔代数》，最后以布尔逻辑在构建接触电路问题中的应用实例结束。П·С·亚历山德罗夫讲授了集合论课程。В·И·阿诺尔德负责一个高级小组，成员是已经熟悉分析概念的学生；А·Г·库什尼连科和А·М·列昂托维奇（当时是学生）负责初学者小组的教学。Н·Х·罗佐夫和О·А·奈达负责力学，А·А·卡拉楚巴负责数论。研讨课的特点是同时有两到三位年轻教师（包括А·С·米先科、М·А·格尔韦尔、А·Л·托姆）进行个别辅导。此外，还组织了兴趣小组，并举办了单独的讲座。

教学活动自然伴随着练习题的解答。不断张贴出满足各种口味的题目列表。任何时候遇到教师（包括安德烈·尼古拉耶维奇本人）都可以提问、获得咨询。学生和教师会收到简短的讲义。安德烈·尼古拉耶维奇后来在物理数学学校和普希诺学校也遵循这些规则；他通常亲自打印自己的讲稿。

晚上定期举办音乐会或文学晚会，学生们与年轻教师就各种各样的话题进行交谈，首当其冲的是学生们关心的数学问题本身，或是与大学入学相关的问题。“英语字谜游戏”和逻辑游戏很受欢迎。

对体育的关注成为了暑期学校的传统。无论天气如何，每天早上的强制晨练和一日三次的游泳、森林远足、横渡莫斯科海（П·С·亚历山德罗夫和А·Н·科尔莫戈罗夫是领航者）、参观博罗季诺战场——这些都是克拉斯诺维多沃夏天的掠影。后来的暑期学校也大致按照同样的模式运作，参与者们都怀着最美好的感情回忆它们。

А·Н·科尔莫戈罗夫在暑期学校讲授的讲座和课程主题每次都不同，因此，如果他所有在暑期物理数学学校的讲座稿都能保存下来，将汇集成一本非常有趣的书。但现存的材料很少，仅发表了两篇作品。П·С·亚历山德罗夫、В·М·阿列克谢耶夫以及其他暑期学校教师讲座稿的下落仍然未知。

4. 大学附属物理数学学校。

这些学校的构想似乎起源于苏联科学院西伯利亚分院。但每所学校的工作风格由其科学负责人的个性决定——现有的四所大学附属物理数学学校（新西伯利亚国立大学、莫斯科国立大学、列宁格勒国立大学、喀山国立大学）无论在课程内容、工作方法，还是（可以说）生活方式上，都有相当显著的差别。所有热衷于此理念、理解与天才中学生工作的重大国家意义的人们的联合，对这项事业起到了重要的推动作用——М·А·拉夫连季耶夫、И·К·基科因、А·Н·科尔莫戈罗夫、С·Л·索博列夫、А·А·利亚普诺夫。И·Г·彼得罗夫斯基也积极支持了这一创举。

在安德烈·尼古拉耶维奇·科尔莫戈罗夫的创造生涯中，莫斯科国立大学附属第18号物理数学寄宿学校占有特殊地位。他创建了物理数学学校，并为其注入了生命力。安德烈·尼古拉耶维奇是学校的科学负责人，他讲授了大量课程并主持了兴趣小组。他举办音乐和诗歌晚会，带孩子们远足。他领导学校的董事会，争取必要的财政拨款，关心图书馆。总之，学校的全部生活都在安德烈·尼古拉耶维奇的积极参与下进行。他本人在学校里度过的时间，恐怕不少于一年。

莫斯科国立大学附属物理数学学校于1963年12月2日成立；今年（指1988年）学校将庆祝其25周年。这些年来，对于学校、其毕业生以及这一理念本身，存在着各种各样的评价——从热情洋溢到尖锐批评。时间是最公正的裁判。在苏共中央1988年2月全会上，关于国民教育问题的报告中指出：

“……莫斯科大学附属物理数学寄宿学校主要招收来自中央、乌拉尔和俄罗斯南部，大部分来自农村地区和小城市的、在物理和数学方面有天赋的高年级学生。学校的教学除了教师外，还有著名科学家、科研人员和研究生参与。物理和数学实践课在大学实验室进行。学校非常重视学生与导师的交流。莫斯科国立大学真正体现了其创始人М·В·罗蒙诺索夫的遗训，他曾说：‘大学必须附属一所中学，没有中学，大学就像没有种子的耕地。’

此类学校在其他一些高等院校也卓有成效地运作着，它们拥有远大的未来。”

如此高的评价是有充分理由的。学校工作成功的真正标志是其毕业生的命运。25年来，约有4000名学生从物理数学学校毕业。目前，其中至少有400人获得了副博士学位，约有20人获得了博士学位。物理数学学校毕业生的科研成果占国内数学和物理领域全部成果的相当一部分。

关于物理数学学校工作的一些总体印象可以从现有出版物中获得（[1.45], [2.11], [2.12], [3.4], [3.9], [3.22], [6.8], [6.27]）。本文不求给出全面的描述，仅就学校的一些工作原则、其传统（主要由А·Н·科尔莫戈罗夫创建）进行探讨。主要目标在于为中学生接触科学研究创造必要的先决条件。这是通过多种方式实现的。

很大程度上取决于课程、教材的选择以及讲座的性质。寄宿学校课程最显著的特点之一在于，几乎所有课程（无论是安德烈·尼古拉耶维奇亲自讲授的，还是经他讨论后由其他讲师讲授的）都是全新的。必须激发孩子们的兴趣，让他们接触严肃的数学思想，同时要考虑到年龄特点和现有数学知识的局限性。所有这些都要求寻找原则上全新的思想，而这正是А·Н·科尔莫戈罗夫的数学天才得以充分展现的地方。

物理数学学校的学生之所以能接触到科研工作，很大程度上是因为安德烈·尼古拉耶维奇的讲座涉及严肃的数学。许多后来成为职业数学家的寄宿学校毕业生指出，他们正是在寄宿学校接触到了非常重要的思想。例如，安德烈·尼古拉耶维奇为九年级学生两次讲授的几何课程就很有代表性。它实质上涵盖了Э·阿廷《几何代数》第一章的内容，但讲解方式明显更直观、更具几何性。课程从仿射平面和射影平面的公理化开始。证明了最简单的推论，构建了非笛沙格平面的例子；对公理系统进行了完备性、无矛盾性和独立性的研究。然后将活动转移到空间——推导了基于结合公理的几何学定理，论证了位似变换和平移的存在性，引入了向量并定义了向量运算，证明了其性质。直到最后才加入确保向欧几里得几何过渡的相应公理。该课程的讲稿得以保存。

另一个例子是В·И·阿诺尔德在1963/64学年为十一年级学生讲授的课程。最终以完全严格证明的伽罗瓦定理结束；在此过程中引入了必要的复变函数论（ТФКП）基础和代数元素。其中一名学生В·Б·阿列克谢耶夫，后来在读研究生时，根据保存的笔记在物理数学学校再次讲授了这门课程，并将其整理成书《阿贝尔定理习题集》（莫斯科：科学出版社，1978年）。

А·Н·科尔莫戈罗夫比任何人都擅长将看似陈旧的主题和事实以深刻而生动、原则上全新的形式进行阐述。例如，他为九年级学生讲授的分析入门课程，实质上包含了一套完整的、以全新方式阐述的实数理论，该理论基于同样由安德烈·尼古拉耶维奇提出的标量公理体系。正数被定义为标量集合上的单调加性算子。对于分析入门课程来说，其结构也很不寻常。安德烈·尼古拉耶维奇本人这样描述它：

“讲座课程从映射（函数）的一般概念开始，一方面向研究几何变换和运动学的方向发展；另一方面则以直观的方式引入分析（积分和微分学的初步）……并附带微分方程的初步实例”[3.9, 第3页]。

应当指出，他所讲授的所有课程的独特性，不仅对学生，也对教师提出了相当的要求。通常，在安德烈·尼古拉耶维奇的讲座之后（鉴于上述特点，教师的出席不仅被认为是有益的，而且是必要的），会立即进行研讨课——需要对所学理论进行解释，解决相应的练习题。

寄宿学校课程的一个重要特点是避免针对特定范围的题目进行应试训练。这并不意味着必要的技能（例如绘制图形或微分）不受重视。相应的题目在研讨课上解决，掌握这些技能是定期举行的测验和考试的要求。但这一切都是在学习讲座材料的过程中自然进行的，没有特别的压力。实际上，讲授的节奏如此之快，以至于根本没有时间去解决大量的训练题。之所以能够以高速度推进，得益于根据笔试、口试以及暑期学校考核结果对学生进行的专门选拔。

为应对所有寄宿学校毕业生都必须参加且确实需要一定训练的选拔性考试而进行的准备体系很有代表性。设想物理数学学校的学生应该在学习寄宿学校课程（这些课程与入学考试大纲相去甚远）的过程中，达到足以找到解决选拔性考试题目方法并成功应对的水平。而必要的训练（量不大）则通过在最后一个学期对学校课程材料进行系统化即可实现，届时会开设基础数学讲座，并辅以专门挑选的选拔性考试题目的解答。多年来，像А·А·舍尔舍夫斯基、И·К·苏林这样的专家从事这项工作；后来，А·Н·泽姆利亚科夫、Б·М·伊夫列夫也成功地承担了这项任务。

以上所述并不意味着安德烈·尼古拉耶维奇不重视技术训练。恰恰相反。但他认为，需要采用不同于标准的、其他形式来引导中学生掌握每个科学家都必需的、完成大计算量和绘图工作的技能。对于寄宿学校而言，这种形式首先是数学实践课，其许多主题由А·Н·科尔莫戈罗夫亲自提出。

“数学实践课的时间，理想情况下是为整个年级同时进行的，部分用于统一对各类书面测验的要求，这些测验由一系列普通学校类型的题目组成。但这些时间主要用于完成需要大量计算和绘图 оформление (俄语: 设计、 оформление) 的大容量作业。例如，实际执行了评估π值的程序；在课堂上学习了摆线运动后，图形化地研究了更复杂的运动叠加情况，找到并图形化地描绘了 последовательного (俄语: 连续的) 放射性衰变微分方程组 x = —ах, у = ах — by, z = by 等的解。参与实践课的有在班级工作的教师，但有一个独立的小组负责组织并准备材料”[3.9, 第4页]。

几项数学实践课的主题在小册子[3.22]中进行了讨论。其中一项任务是制作正多面体、半正多面体和星形多面体的模型，其完整收藏曾由物理数学学校某一届学生制作完成。

应当指出上述例子一个重要的特点：所有提到的课程都具有完整性，正如科学理论所应有的那样。还需补充的是，这一点也体现在个别讲座中。例如，А·Н·科尔莫戈罗夫领导的几何兴趣小组工作的一个已发表片段：给出了用正多边形铺满平面的所有方式的完整描述[2.3]。

寄宿学校数学课程的上述特点在很大程度上促进了既定目标的实现。毕业生成功考入大学（约95%的学生），包括重点大学（约70%）。他们中的许多人在大学一年级就积极投身于科研生活，随后成功继续攻读研究生。物理数学学校师生之间的科研联系常常在大学得以延续。例如，С·М·沃罗宁和Г·И·阿尔希波夫，后来都成为科学博士，他们与未来的科学导师А·А·卡拉楚巴的联系始于中学时代。В·И·阿诺尔德和Н·Н·涅霍罗舍夫、В·А·斯克沃尔佐夫和Т·П·卢卡申科的工作也是如此。类似的例子不胜枚举。

尽管正确设置课程和整个教学过程至关重要，但同样重要的是选拔能够创建新课程、主持课堂和兴趣小组、懂得与孩子们相处、促进营造А·Н·科尔莫戈罗夫多次强调的作为物理数学学校生存必要条件的科学热忱氛围的人才。在寄宿学校的校歌中（该校歌自1966年起就存在，作者是Ю·基姆）有这样的歌词：“这里科学家的密度非常大——一个研究生加半个副教授对应一个百分比的学生”。这显然是夸张。但在寄宿学校确实工作着数量异常多的科研人员、高校教师。除了讲师和“成年”教师（不同年份包括物理学家И·К·基科因、Я·А·斯莫罗金斯基、Б·Б·布霍夫采夫、Г·И·卡塔耶夫，数学家В·М·阿列克谢耶夫、В·И·阿诺尔德、В·А·斯克沃尔佐夫、А·Б·索辛斯基、А·А·叶戈罗夫...）之外，许多大学的研究生和本科生也在物理数学学校工作，从三年级起就信任他们主持课堂和兴趣小组活动。将规定每个班级可以有多达三名数学和物理教师（其中一到两名是学生）的条款纳入寄宿学校章程，对学校生活产生了积极影响。这使得一方面能够对每个学生进行个别辅导，另一方面，吸引学生也确保了传承性：成为研究生后，他们常常继续任教。在学生教师中有许多学校的毕业生——他们工作内行，对工作认真负责。

А·Н·科尔莫戈罗夫非常重视中学生的通识教育和发展。精心挑选负责其他科目教学的人员是他特别关心的事情。他在这方面取得了很大成就。例如，物理数学学校的英语教学是在著名语言学家О·С·阿赫玛托娃的指导下进行的。许多曾在莫斯科国立大学教师Н·И·格拉西莫夫班级学习文学的物理数学学校毕业生都对他怀有最深切的感激之情。生物教学多年由莫斯科国立大学生物系的教师负责。为了让少数在原学校开始学习法语的学生继续学习，邀请了А·А·扎利兹尼亚克（现为苏联科学院通讯院士）任教。

各种课外活动也积极开展。如前所述，安德烈·尼古拉耶维چ举办了许多音乐和诗歌晚会。他还做了其他讲座，讲述他的印度之行、在“德米特里·门捷列夫”号上的航行经历等。П·С·亚历山德罗夫也多次与中学生见面。举办了各种有趣的见面会，参与者包括，例如，В·К·列维克（这是一次特别的诗歌晚会，他讲述了翻译工作并朗诵了诗歌）、试飞员К·К·科基纳基、诗人Л·奥沙宁、Я·赫列姆斯基等许多人。还组织了定期参观博物馆、剧院的活动。

安德烈·尼古拉耶维چ特别关注孩子们的健康。在他的档案中，特别保存了一些笔记，记录了他在纳戈尔内教授实验室获得的物理数学学校学生疲劳度评估（该教授及其同事在60年代对物理数学学校学生的生理特征进行了专门研究）。安德烈·尼古拉耶维چ非常重视体育活动。寄宿学校增加了体育课时数。体育社团积极运作，经常举办足球和篮球比赛，包括学生队与教师队之间的比赛。根据安德烈·尼古拉耶维چ的倡议，曾多次组织前往克里米亚的夏季劳动营。

物理数学学校在培养学生、促进他们全面发展方面所做的工作取得了成果。回顾学校成立25年来的工作成果，必须指出，对于如今已是许多届的毕业生而言，兴趣广泛、对音乐、文学、历史的真正热忱、对所负责任的担当是他们的共同特征。

还有一个细节。在创建物理数学学校时，А·Н·科尔莫戈罗夫的出发点是，这类寄宿学校首先应为那些居住在大学中心之外的孩子们设立，他认为大城市自身有能力为有才能的学生提供充分的发展机会。因此，学校承诺优先招收（只有全苏奥赛获奖者是例外）来自农村地区和小城镇的孩子。这一规则得到了严格遵守。一些非常有影响力的人为了照顾自己的年轻亲属而多次试图争取特殊决定，但均未成功。特别是，没有一个莫斯科本地人在寄宿学校学习过。

5. 学生读物。

在我国组织一套有效的、面向对数学感兴趣的中学生的工作体系，其必要条件是拥有相应的文献资料。А·Н·科尔莫戈罗夫在这方面做出的贡献是巨大的。谈到他以某种身份参与创作的学生读物，可以划分为三个主要部分。

首先，是由安德烈·尼古拉耶维奇亲自撰写的书籍和文章（[2.1]—[2.13], [3.1]—[3.26]）。同时需要提醒的是，他为学生所做的讲座中，只有一小部分得以发表。实际上，几乎所有这些讲座的准备都达到了这样的程度：如果能有速记稿或者至少是精确的讲稿，它们就能汇集成一大卷可供印刷的书籍。一些未发表的讲座和课程的讲稿得以保存；其中不乏真正的杰作。

其次，一个重要的部分是由А·Н·科尔莫戈罗夫担任编辑的书籍（[5.3], [5.7], [5.11], [5.14], [5.17]）。谈到安德烈·尼古拉耶维奇作为编辑的工作，必须指出他非凡的能力，能够迅速抓住文本的实质，即使文本篇幅巨大、结构和内容复杂。这种“洞察”文本的能力极其发达，给人留下了非常深刻的印象。安德烈·尼古拉耶维奇总能非常迅速地找到只有他知道的关键节点，并指出不准确之处，或者相反，强调那些鲜明、最有趣的特点。

需要补充的是，在许多情况下，А·Н·科尔莫戈罗夫虽然不是某本书的正式编辑（他以这种身份的参与从不具有形式性质），但他积极支持该书的出版，作为其发起人或顾问。从作者们在序言中表示的感谢数量来看，安德烈·尼古拉耶维奇参与其出版过程的著作数量相当可观。

最后，一个特殊的群体是大约200期的《量子》杂志以及“《量子》小丛书”数学系列的书籍。其创办的发起人是И·К·基科因和А·Н·科尔莫戈罗夫；从1970年《量子》创刊起，他们一直负责杂志的物理和数学部分。

必须承认，为中学生创办专门的出版物并非易事。更为重要的是，他们还成功地坚持了一些特殊条件，特别是杂志优良的印刷质量。安德烈·尼古拉耶维奇普遍高度评价为学生编写的数学文本中的优质插图，认为这能显著帮助理解文本，更突出地展现主要思想。

《量子》章程中的一个重要条款是关于提高杂志作者稿酬的决定——这一情况在很大程度上简化了吸引高水平作者与《量子》合作的任务。

《量子》杂志数学部分的面貌主要由А·Н·科尔莫戈罗夫决定。他的编辑工作——杂志的编排、作者和文章的选择、修订——总是触及问题的实质。即使在晚年，身患重病的情况下，安德烈·尼古拉耶维奇仍定期审阅准备在《量子》或“《量子》小丛书”中发表的材料和手稿。

6. 教学分化。

在大约三十年的时间里，А·Н·科尔莫戈罗夫积极倡导在高中阶段实行教学分化，扩大专业班级的网络，认为这正是苏联学校发展的道路，能够最大程度地发展青少年的能力和才华，并能在应有程度上满足现代生产和科学的需求。他关于此问题的首批出版物（见[6.4], [6.6], [6.9]）可追溯到50年代末至60年代初。他在1964年6月25日俄罗斯苏维埃联邦社会主义共和国教育部会议上的发言是典型的：

“……应当考虑学生的志趣。对于那些希望投身物理数学科学领域工作或成为工程师的学生，除了专门的寄宿学校外，还需要广泛建立类似于设有计算机程序员专业的中等普通教育学校那样的物理数学学校网络。宜用此类学校覆盖中学高年级10-15%的学生。”

这个想法相当流行，许多人都提出过；专门学校和班级在60年代和70年代初获得了一定发展，尽管不幸的是，随后出现了一波关闭潮。А·Н·科尔莫戈罗夫的功绩在于，他为这个想法注入了新的具体内容——制定了教学原则（在莫斯科国立大学附属物理数学学校得以实现），并创作了大量一流的教学材料。

他的另一个想法，对于广泛推广专门学校和班级网络是必要的（在苏共中央二月全会通过了关于显著发展此类班级网络的建议后，现在尤其具有现实意义），即要在中学建立教育和培养体系，必须大幅增加投入到国民教育体系中的社会劳动份额。（这在物理数学学校得以实现。）在安德烈·尼古拉耶维奇的档案中，还有不少材料，包括相当完整的材料，记录了他关于数学能力本质、青少年能力发展可能模式的极其有趣的观点。

必须强调的是，А·Н·科尔莫戈罗夫不仅仅是支持分化教学的理念——他为之奋斗。众所周知，分化教学的理念在很长一段时间内并未获得官方支持。然而，安德烈·尼古拉耶维奇坚信自己的正确性，在众多出版物和演讲中多次重申这一观点。

以下事件颇具代表性。

1984年1月，对普通教育学校改革草案进行了全民讨论。安德烈·尼古拉耶维奇准备了一份文本，其中包含在改革过程中实施高年级分化教学的建议。他向著名科学家征求意见，经过讨论和协调，在《消息报》上发表了一封由9位院士联名的集体信函[6.24]，提出了相应的建议。官方机构没有回应；也没有进行讨论。半年后，在一家权威刊物上发表的以下文字可视为间接回应。

“在对改革草案的回应中，有关于为学生深入学习个别科目创造条件的建议。在《基本方向》中考虑了这种可能性。为了深入学习物理数学、化学生物和社会人文学科周期的科目，以及发展学生的多方面兴趣和能力，引入了由学生选择的选修课。至于普遍组织专门学校和班级的愿望，则不能同意。这样做是不合适的，不应大规模发展此类学校网络。否则将违反我们学校的基本原则之一——统一的教育水平”……

目前，学校教学分化已被确认为苏联学校发展的主要方向之一。

7. 学校数学课程大纲。

在六十年代中期，安德烈·尼古拉耶维奇·科尔莫戈罗夫领导了完善苏联整个学校数学教育体系的工作。他在这一领域的第一个重要工作周期与制定数学课程大纲有关。

实际上，当时的问题提得更广泛——苏联整个学校教育的改革开始了。为此，1964年12月，成立了由苏联科学院和苏联教育科学院组成的确定中等学校教育内容的中央委员会（主席——阿列克谢·伊万诺维奇·马尔库舍维奇）。委员会内设立了学科分组，许多苏联科学院院士参与其中：И·К·基科因、В·М·卡尔金、Ю·А·伊什林斯基、М·В·涅奇金娜、В·М·赫沃斯托夫、Д·Д·布拉戈伊、Я·Б·泽尔多维奇、М·А·列昂托维奇……安德烈·尼古拉耶维奇领导了委员会的数学分组。

直接参与起草数学课程大纲草案以供广泛讨论的人员包括专业数学家和教师、高等教育代表和方法学家：В·Г·博尔强斯基、А·Н·科尔莫戈罗夫、Ю·Н·马卡雷切夫、А·И·马尔库舍维奇、Г·Г·马斯洛娃、К·И·佩什科夫、А·Д·谢穆申、А·И·费季索夫、А·А·舍尔舍夫斯基、И·М·雅格洛姆。

课程大纲的制定工作历时约三年，分几个阶段进行。1965年，在委员会确定了未来学校的结构并制定了教学计划后，创建了课程大纲的框架和材料《数学知识范围》[1.3]，在该材料发表并在《学校数学》杂志（1966年）进行讨论后，完成了第一版课程大纲[1.15]，由“教育”出版社印刷了4000册。收到的意见在1967年的草案中得到了考虑，该草案经过又一轮讨论后成为文件[1.14]，获得了苏联教育部的批准，并被采纳为未来教科书的基础。

课程大纲的制定工作是在积极的讨论中进行的。有理由断言，1968年的课程大纲不仅得到了教育部的批准，而且获得了广泛的社会公众以及以各种方式与数学教育相关的组织的支持。特别是，该大纲得到了苏联科学院数学部的批准（见《学校数学》，[1967年第3期，第28页]）。

在描述60年代末至70年代初进行学校数学教育改革时的环境时，必须指出，无论是课程大纲和教科书的编者，还是教师、方法学家，都表现出了真正的热情。这首先是因为1968年的课程大纲成为了反映当时已经形成的对现有数学课程结构和内容不满的文件，它吸纳了当时也已明确的建设性思想。（要确信这一点，只需查阅战后时期在《数学启蒙》、《学校数学》等杂志和其他来源发表的大量文章即可。）

必须强调的是，到60年代，改革学校数学课程的必要性已在所有发达国家得到认识；同一时期，改革浪潮席卷了整个欧洲，也触及了美国。

撇开西方国家学校种类繁多，以及许多国家根本没有全国统一课程这一事实，总体而言，可以说变革的主要趋势非常相似。

实际上，所有这些改革都有一个共同的源头。寻求数学教育改革途径的探索始于19世纪末，并在1914年以由Ф·克莱因领导的国际委员会制定的相当完整的文件形式得以确立。引入分析和解析几何的元素，积极运用几何变换（后来还有向量），摆脱陈旧的材料，系统地贯彻函数思想——这些是改革的主要口号，从20世纪初开始，在很长一段时期内，在我国和国外都在具体的实践中得到了积极支持和发展。实际上，改革的延迟，似乎主要是由历史灾难——两次世界大战造成的。

因此，1968年的课程大纲并非凭空产生。但是，对课程结构的具体推敲、对可能讲授方案的深思熟虑、时间的分配、对我国现有教学传统的考虑以及对教师队伍准备程度的评估——所有这些都要求所有参与制定大纲的人员，尤其是领导者——А·Н·科尔莫戈罗夫，付出艰苦细致的劳动。

1968年课程大纲中蕴含的思想体系构成了一个复杂的结构，由于篇幅所限，在此难以全面描述，或许也无此必要：主要内容已由安德烈·尼古拉耶维奇本人在其一系列文章中阐述，这些文章实际上就是对大纲的评论（[1.4] — [1.7], [1.12], [1.16] — [1.18]...）。因此，我们仅列举一些最显著的特点。

在上述方向上更新数学课程（包括引入分析初步、解析几何、几何变换和向量）之所以成为可能，是因为课程摆脱了一系列过时的主题，首当其冲的是陈旧的算术课程。计划将某些主题（例如，最简单的代数元素）提前到更早的学习阶段。这类决策的可能性是由以往的经验启示的，并在实验过程中得到了论证。

课程结构进行了重大调整——出现了统一的I-V年级数学课程，确立了学校的代数与分析初步课程，取消了独立的三角学课程，增加了VI-VIII年级代数学习的时间等等。

在上述文章中，安德烈·尼古拉耶维奇详细描述了编者们所遵循的总体方法论指导方针。例如，他指出：

“我们认为，主要任务之一是实现中学数学课程的思想统一性。对此，我指的是以下要求：1）在任何可能的情况下，都应直接引导学生采用现代、合理的方法解决问题和题目；2）向新思想领域的过渡，应尽可能以学生能理解的方式进行动机引导；3）学生的每一个学习方向一旦开始，就应达到确实能证明其价值的最低成果；学校不应让学生记忆那些在学校课程中找不到合适用途的预备知识，寄希望于它们将来某一天会对学生有用”[1.12, 第5页]。

1968年草案的一个特点（目前正在积极发展）是明确列出了大量示例，用以设定学生在学习某一主题时应达到的技能水平。这些强制性要求的水平并不高。安德烈·尼古拉耶维奇对此的观点如下。他认为，正在形成的这样一种局面是极其糟糕的：随着高校提高选拔性考试题目的难度上限，教师和方法学家常常对学生提出过高的要求，提供人为复杂的技巧性题目。而实际上，大多数学生连一些更基础水平的技能都没有掌握。提出过高的要求会分散对课程通识教育目标的注意力。在这方面，安德烈·尼古拉耶维奇还写道：

“毫无疑问，对于一些基本的、在后续所有工作中经常遇到的运算技能，必须达到自动化程度。这不仅适用于四则运算，也适用于最简单的代数变换或（徒手，不用绘图工具！）绘制最简单几何图形的草图。但是，这些达到自动化程度，并因此达到一定执行速度的技能范围，应该非常有限。例如，完全没有必要将对复杂的、人为设计的表达式进行对数运算和‘反对数运算’等纳入其中”[1.12, 第5页]。

至于集合论和逻辑的元素，即那些在70年代末成为批评焦点的数学课程元素，应当指出，1968年的课程大纲恰恰建议以非常谨慎和适度的方式引入它们[1.14, 第5页]。

现在，二十年后，当我们已经了解了后续事件的发展，对这个课程大纲进行评估时，最合理的结论似乎是：这是一个准确地确定了未来时期学校数学的主要内容、课程结构和主要教学原则的文件。

8. 准备周期。

在继续确定学校数学教育结构和内容的工作的同时，安德烈·尼古拉耶维奇开始撰写一系列文章，为学校向新内容的过渡做准备。在描述这一周期时，我们从与选修课程建立相关的工作开始，他对此给予了极大的重视。

如前所述，А·Н·科尔莫戈罗夫始终是发展专门学校和班级的支持者之一。在某种程度上，所做出的优先发展选修课体系的决定是一种妥协，它允许（在选修课得到充分发展的情况下）既考虑到对有能力的学生进行专门工作的必要性，也顾及到反对高年级分化教学理念者的意见。但这种妥协在一段时间内并未超出可接受的范围：选修课无疑是一种比班级专门化更民主、更容易实现的形式，后者尤其需要大量合格的教师。

安德烈·尼古拉耶维奇积极参与了选修课程的建立：所有选修课程的大纲都是在他的指导下制定的，他是现有大纲的合著者和编辑。准备了两个系列的选修课程，首先是《数学补充章节》（[1.21] — [1.24]），然后是《数学选讲》。第一个系列的主要目标是促进选修课尽快在学校实践中推广。这些选修课还有另一个目的：它们包含了一些属于新大纲、但尚未有教科书支持的问题，从而为教师教授新的数学课程做好了准备。总的来说，这第一个系列的命运相当成功：许多教师开始开设选修课。

选修课程的问题对于理解与70年代改革相关的所有事件发展具有原则性的重要意义。需要提醒的是，学校数学教育改革是在实施根据1966年11月10日党和政府决议进行的学校整体改革框架内进行的，该决议的主要要求是提高阐述的科学性——数学教育改革的构想完全符合这一决议。

然而，在随后的教学计划变更中，最初分配给数学的课时数不断减少。在第一次这样的削减中，А·Н·科尔莫戈罗夫和А·И·马尔库舍维奇尚能影响决策，他们同意每周减少1小时，但这仅仅是因为当时这还不算大问题（尽管正是在那时，不得不放弃了复数的学习）。而主要的指望在于选修课的实际运行。

然而，之后出现了一系列关于学校的新决策，从根本上改变了构成1968年大纲基础的公理体系。首先是《全民义务中等教育法》（1973年），以及一系列具体决策——关于建立教学-生产联合体，关于将新科目纳入教学计划等等，随之而来的不仅是用于学习普通数学课程的课时数持续减少，而且用于选修课程的教学时间也未能按原定用途使用。这尤其导致，在70年代中期，当第二个选修课程系列《数学选讲》以教材形式出现时，实际运行的选修课数量已经不多了。

谈到安德烈·尼古拉耶维奇参与创建选修课程，需要指出两项工作。其中一个此类课程的模型由他在文章《概率论与组合数学初步》[1.19]中提出——这个主题未能纳入必修大纲。另一个例子是《几何学的逻辑结构》一章[3.17]，它结束了6-8年级的几何课程。这里概述了作为学校几何课程基础的公理体系。通过仿射平面简单公理体系的例子，讨论了完备性、无矛盾性和独立性的概念。换言之，公理化方法的思想被推向了一定的完整性。

安德烈·尼古拉耶维奇本人并不认为这些文本已准备好直接用于实际工作，也没有将它们收入选修课程汇编中。但这些工作值得最密切的关注。它们很好地体现了А·Н·科尔莫戈罗夫的一个基本教学原则：给中学生的文本应当是完整的、内容丰富的（即承载显著的思想负荷），介绍严肃的数学思想和数学应用。自然，在此过程中，他力求使材料对中学生来说易于理解、直观形象。

对于赋予选修课程为升入大学做准备的功能这一更功利化的倾向，安德烈·尼古拉耶维奇并未排斥，而在后来数学课时数已大幅减少的时期，甚至予以支持，例如认为明确地开设一门面向大学入学考试的选修课程是合适的。

尽管选修课程非常重要，但这只是学校数学教育改革框架内工作的一部分。进行了实验教学，开展了大量的理论研究（准备了新主题的讲解方案、旧主题的修改方案）。许多作者的相关出版物在60年代末至70年代初定期出现在《学校数学》杂志上。

在此期间，А·Н·科尔莫戈罗夫研究了国外文献、国内教科书；准备并发表了一系列包含具体研究成果的文章，将新大纲的一些思想、他的教学原则具体化。这一时期的著作几乎涵盖了学校教育的所有阶段（除了一年级外）（见[1.17] - [1.19], [1.26] - [1.28], [1.30], [1.32]）。

例如，在文章《五年级几何教学材料》[1.30]中，提出了一个原则上全新的几何初步学习方向。安德烈·尼古拉耶维奇认为，五年级的几何可以通过加入少量但有趣的事实（例如，带有“印度式”证明的毕达哥拉斯定理）来使内容更丰富。他还认为，让中学生在这个年龄就接触几何变换是很重要的，前提是讲解要具有直观性，并包含对这个年龄段学生有趣的例子。这类文本就收录在这项工作中。

或许，在这一时期，他最为关注的是对于苏联学校来说全新的代数与分析初步教学问题。为了检验所提出的讲解方案，他在博尔舍夫斯卡娅第3学校组织了为期四年的实验，两个九、十年级班级根据А·Н·科尔莫戈罗夫本人或在他指导下准备的材料学习分析初步（见[1.9]）。实验是在安德烈·尼古拉耶维奇的直接参与下进行的——他定期与主持实验的教师、学生会面。

在《学校数学》杂志上，还有几篇安德烈·尼古拉耶维奇的文章，实际上是对当时正在使用的教科书的评论（见[1.10] — [1.13]）。这些文章指出了教材的明显缺陷，并提出了修正所发现不足的具体方法。相应的修改也被纳入了教科书。

所讨论的这一系列工作既包含了一般性的思想，也包含了对相对具体问题的详细分析。在论及这些问题时，安德烈·尼古拉耶维奇常常明确阐述他的一些普遍原则。例如，在论文《关于学校中恒等式的定义》[1.7]中，他特别讨论了引入这一概念所带来的各种麻烦，提出了解决方案，并指出：

“……在生动发展的科学中，‘逻辑严谨性’只有通过根据我们的需求选择知识‘形式化’的方式，并根据需要从一个形式系统过渡到另一个形式系统的权利才能实现。”

总的来说，А·Н·科尔莫戈罗夫与学校课程大纲草案准备相关的系列工作，以及预示改革的文章，都具有极高的价值。在这些工作中，他解释了为什么学校数学课程最好按照大纲建议的方向进行调整，应该将哪些教学原则作为学校数学教学的基础以及为什么，以及如何实现这些原则。总而言之，这些工作以这样或那样的方式触及了学校数学教学中许多重要的问题，这些问题至今仍具有现实意义。

9. 教科书。

安德烈·尼古拉耶维奇决定亲自参与编写教科书，这似乎是受当时形势的影响。很长一段时间，他将自己的职责限制在积极参与讨论、为正在形成的作者团队提供咨询，并同意担任教科书的编辑。

从1970年起，当《数学4-5》教科书引入学校时，出现了一种迫切的需求，迫使他以正式作者的身份投入工作：连续几年，每年9月1日之前都需要准备好下一年的教科书，而它们的最终完善需要所有作者团队的全力以赴。

学校采用新的数学教材之前，进行了实验教学。在70年代末，有时会有人认为改革过程中引入的教科书缺乏实践检验。实际上，实验进行了数年；直接检验在四个实验区的所有学校进行（弗拉基米尔州的苏兹达尔区、列宁格勒州的托斯诺区、塞瓦斯托波尔市、斯维尔德洛夫斯克州的别洛亚尔斯基区）。在此过程中，检验了不同版本的教科书：Б·Е·韦茨、И·Т·杰米多夫和科切特科夫夫妇的代数与分析初步教材，А·Ф·谢苗诺维奇、Р·С·切尔卡索夫、Ф·Ф·纳吉宾以及由В·Г·博尔强斯基领导的团队编写的VI-VIII年级几何教材；在立体几何方面，К·С·巴雷宾的教科书与З·А·斯科佩茨领导的团队编写的教科书展开竞争。最终决定是在比较实验结果后做出的。我们可以讨论实验方案的设计是否成功，但不应否认实验的存在：这与事实相悖。

编写教科书的工作需要寻找阐述方案，准备许多中间版本，构思数十个定义和证明的思路，挑选数百道习题并绘制数百幅插图的草图，寻找措辞和个别语句的最佳表述，考虑文本不同元素之间的众多联系等等。因此，编写教科书的工作要求安德烈·尼古拉耶维奇全力以赴。在1970年至1979年期间，即编写VI-VIII年级几何教科书以及随后在安德烈·尼古拉耶维奇指导下编写IX-X年级代数与分析初步教科书的时期，准备了这些教材的几个版本（参见第70页的教科书列表——仅列出了那些经过根本性修改的版本）。

还应考虑到，在此期间，安德烈·尼古拉耶维奇继续在大学附属物理数学学校工作，并不断为所有教材的作者提供咨询。

А·Н·科尔莫戈罗夫本人对教科书工作的参与程度非常高。他主要关注理论文本——确定结构，研究由合作者预先准备的版本。在准备印刷的关键阶段（持续数月的连续工作），这些版本几乎被完全重写；许多关键点和章节被反复修改。审稿人的意见常常迫使许多内容需要重新审视。安德烈·尼古拉耶维奇甚至在校对阶段也力求利用最微小的机会改进文本，这自然导致了出版过程中的困难，但最终由于苏联教育部和“教育”出版社对工作复杂性的理解而得以解决。

在优先关注教材理论材料（相当一部分由安德烈·尼古拉耶维奇亲自撰写）的同时，他仔细监控所有其他文本元素的准备工作，首当其冲的是习题。他在这方面的参与也非常大——安德烈·尼古拉耶维奇指出哪些习题应删除、替换或修订，对措辞进行修改，建议引入单独的习题组。一些习题是他自己构思的。根据安德烈·尼古拉耶维奇的意见进行的修改，总会经过他的最终审核。

基于当时积累的丰富个人经验来评价教科书编写工作，А·Н·科尔莫戈罗夫在1974年指出：

“当设计新型飞机时，设计局有一个总体构想，一个统一明确的领导，但各个部件由独立的小组规划。然后将工作成果汇总在一起，确定哪些合适，哪些不合适，如果存在不一致，就给专门的小组下达新的任务。教科书的复杂程度不亚于新型飞机。所有部门和组织都应该理解这一点，不要害怕大规模地开展工作，即使这需要投入资金并让合格的专家从其他工作中解脱出来”（[4.26]，第14页）。

这个想法至今仍然具有现实意义：直到今天，学校教科书的编写仍然是由小型团队在“业余”时间进行的。

А·Н·科尔莫戈罗夫首次参与学校教科书编写工作是在30年代末；当时他与П·С·亚历山德罗夫合作编写了VI-VIII年级代数教科书的第一部分[3.1]；高年级的第二部分未能完成。这本教科书（大概是由于爆发了伟大的卫国战争）未能引入学校，据了解也未进行实验。然而，毫无疑问，这本书中蕴含的许多思想对后来的代数教材作者产生了显著影响；许多教师、学校数学专家指出了它的若干不容置疑的优点，并对这本教科书整体给予高度评价。

在描述安德烈·尼古拉耶维奇为学生编写教材的工作时，应（不求全面地） выделять (俄语: 突出) 他的一些普遍原则，这些原则在编写代数、几何、代数与分析初步教材时清晰地体现出来。

安德烈·尼古拉耶维奇始终坚持（并且这一思想在他指导下创建的所有教科书中得以实现）在教材中加入补充主要内容的文本：历史材料、证明、超出必修大纲范围但与之密切相关的有趣事实、较高难度的习题。所有这些材料都是为对数学感兴趣的孩子们准备的。

如上所述，А·Н·科尔莫戈罗夫认为，在学校教科书中，当严格的阐述不可避免地需要冗长或困难的证明时，不应羞于引入所谓的“未证明的命题”，即明确告知学生这些命题是正确的，但证明困难，因此为了简化阐述而省略。然而，在所有这类情况下，安德烈·尼古拉耶维奇认为，必须提供令人信服的直观解释。他认为这条道路比遵循“教学伪善”原则（给出证明的假象）或付出在该年龄段不合理的精力和时间的阐述更为自然和合理。同时，安德烈·尼古拉耶维奇认为，学校课程命题体系的组织不可避免地需要借助这种方法（尽管，自然地，他设计的数学方案是为了使未证明命题的总数尽可能少，并且随着学生年龄的增长，这类逻辑空白会完全消失）。与此同时，他认为可以组织一个概念体系，其中所有定义都给出得非常准确（这在几何课程中做到了）。给出准确定义的能力、学生对定义的批判性态度，安德烈·尼古拉耶维奇将其归为最重要的通识教育技能之一，这不仅对未来的数学家是必要的。

安德烈·尼古拉耶维奇非常重视实例和插图材料，认为它们是提高文本可读性、阐述清晰度的重要手段。插图的构图、选择以及许多单个草图的准备占用了他大量时间。

在寻找定义和命题的最佳措辞、个别短语的最佳表述、阐述方案时，安德烈·尼古拉耶维奇遵循“越简洁越好”的原则。同时，缩减文本并非目的本身：他认为提供解释、分析典型例子是完全必要的。

我们简要地谈谈构成《几何学6-8》、《代数与分析初步9-10》教科书基础的主要思想。安德烈·尼古拉耶维奇这样描述几何教科书的主要特点：

“根据新大纲编写的VI-VIII年级几何课程与传统课程有显著不同。在新的八年制学校几何教科书中：

1. 系统地贯彻将几何图形视为点集的观点。
2. （早在VI年级就）完全清晰地阐明了以下认识：几何学中不可避免地存在一些不给出明确定义的基本概念，并且有必要通过它们清晰地定义所有其他几何概念。
3. 系统地发展关于‘几何变换’的观念，将其视为整个平面（后来是整个空间）到自身的可逆映射。在VI年级，这是平面的‘运动’（用现代科学语言称为‘等距变换’）。在VII年级，研究相似变换，特别是位似变换。
4. 逐步准备材料，以理解存在不同于欧几里得几何的‘几何学’（如罗巴切夫斯基几何）或将欧几里得几何作为特例包含在内的几何学（如‘度量空间’的概念，这在VI年级研究距离的基本性质时就已经在准备了）的可能性⁴。
5. 在VII年级引入向量概念，该概念随后在高中年级和物理课程中系统地使用。
6. 在VIII年级学习从-180°到180°角的三角函数。”[5.14, 第5页]。

对此需要补充的是，教科书中包含了解析几何的元素。课程的基础是А·Н·科尔莫戈罗夫专门设计的公理体系：（与Д·伯克霍夫的体系一样，这里以距离的性质为基础，但Д·伯克霍夫和А·Н·科尔莫戈罗夫公理体系的相似之处基本上仅限于此）。课程的另一个重要特点是包含立体几何元素，安德烈·尼古拉耶维奇始终对此高度重视，旨在发展中学生的空间想象力，特别是考虑到制图课程的需求。

关于代数与分析初步教科书的几点说明。

应立即指出，正是在这里，与1968年大纲的偏离最大。这是由外部环境造成的：数学课程在20年间损失的教学时间中，大部分落在了这门课程上（如果在1974年，IX和X年级每周总共分配8小时用于学习代数与分析初步，那么到1988年，这个数字减少到了4.5小时）。结果，大纲中相继删除了“数学归纳法”、“组合数学初步”等主题，其他主题的学习时间也大幅缩减。

在编写《代数与分析初步9-10》教科书时，体现了上文已述的相同普遍原则。因此，不再举新的例子，我们简要地谈谈分析初步学习体系的特点。

他将分析初步在学校学习的必要性首先与分析的通识教育意义联系起来。

“从通识教育的角度来看，让所有学生都能具体地理解至少是牛顿的数学自然科学观，其必要性恐怕无需证明”[1.5, 第56页]。

采纳这一立场的自然结果是决定尽早引入导数，并考虑足够广泛的、学生能够掌握微分方法的函数类别。

至于阐述分析初步的基本方法，安德烈·尼古拉耶维奇始终认为，它不应是形式化的，而应是直观的。例如，他援引自己1922-25年的教学经验指出：

“分析初步的直观教学经验表明，这些初步知识可以以一种形式来阐述，使得它们完全不被视为比通常的纯代数材料更难的东西”[1.5, 第56页]。

寻找这样一套阐述体系，首要的是引入分析的关键概念（极限、连续性、导数、积分），并挑选它们应用的例证，构成了主要的困难。

这需要几种不同的阐述方案，通过直接查阅教材文本[3.15], [3.16], [3.18], [3.19], [3.21], [3.24], [3.25]，可以获得对其的全面了解。

10. 教师培训。

符合1968年大纲的教科书，无论在数学内容上还是在教学方法上，对教师来说都是全新的。因此，在向新的数学课程内容过渡的整个时期，全国各地区都建立了教师再培训体系。

А·Н·科尔莫戈罗夫参与宣传新教科书基本思想的形式多种多样。他为教师、方法学家、师范学院教师讲课，直接在莫斯科市教师进修学院、中央教师进修学院（该学院汇集了俄罗斯苏维埃联邦社会主义共和国所有地区的代表，在那些年代还有各加盟共和国的代表）以及其他城市（加里宁、伊万诺沃、弗拉基米尔、雅罗斯拉夫尔、辛菲罗波尔……）授课。他在莫斯科数学会中学分会、各种研讨会以及苏联教育科学院举办的会议上做了大量报告。以下是几个报告主题：《中学中的量概念》（1972年3月23日）、《中学中的逻辑初步》（1972年5月17日，莫斯科数学会）、《数学符号的句法与语义》（1973年12月27日，教育科学院）、《八年制学校几何课程中的直观性与集合论》（1970年2月19日，莫斯科数学会）、《中学数学教科书编写十年》（1975年，教育科学院）。

完整的报告列表大概有100个左右。

在此期间，《学校数学》杂志继续刊登系列文章——现在已经开始发表教科书的个别章节（[1.33], [1.35], [1.38]...），这种提前发表使得教师能在教科书正式出版前就熟悉它们），以及对教材的教学评论[1.29], [1.41], [1.44]...

在70年代，安德烈·尼古拉耶维奇还在各种报纸杂志上发表了不少文章，首当其冲的是《教师报》[6.13], [6.19], [6.20]... 这些文章的主要主题是新教科书的内容特点及使用方法，普及数学教育改革的思想（另见[4.18], [4.24]）。

根据А·Н·科尔莫戈罗夫的建议，师范学院的教学计划中引入了一门新科目《学校数学课程的科学基础》。按照安德烈·尼古拉耶维奇的构想，这门课程应该与学校课程有相当直接的联系，填补学生用书中不可避免的逻辑空白。还计划讨论学校课程最重要主题的各种数学阐述方案。（总的来说，安德烈·尼古拉耶维奇始终认为，师范学院的数学课程应与大学课程有显著不同，充分考虑学生未来工作的性质。）

在教学大纲层面上，新课程的问题由安德烈·尼古拉耶维奇解决，他制定了相应的大纲[4.25]。还成立了一个作者团队来编写相应的教科书，但由于极度繁忙，安德烈·尼古拉耶维奇未能加入。由于各种原因，这本教科书（已更名），根据略有不同的大纲编写，直到70年代末才完成。尽管如此，最初的构想在很大程度上由А·Н·科尔莫戈罗夫本人实现了，虽然没有以专著的形式呈现：几乎所有纳入大纲的问题都在他的各种文章、书籍、讲座中得到了相当详细和充分的讨论。

在安德烈·尼古拉耶维奇为教师和师范学院学生准备的出版物中，根据他在“知识”协会所做的一系列讲座整理的材料占有特殊地位，他本人这样描述：

“这十讲（标题为《学校课程的科学基础》——А.А.）是我在1968/69学年在‘知识’协会中央讲堂讲授的。自然，这些讲座不能替代更详细的阐述，例如不能作为师范学院的教材。我决定在《学校数学》上发表这些讲座，仅仅是因为对正在进行的学校数学课程改革的科学基础进行更现代阐述的需求非常迫切。”

“以下是后续讲座的大纲（第一讲的题目是《关于数学本质的现代观点》——А.А.）：自然数。标量与实数。向量空间。旋转与三角函数。学校中函数的一般概念。学校中数学符号语言与数理逻辑初步。现代数学中的结构概念及学校数学主要结构概述。几何课程的逻辑结构。”

由安德烈·尼古拉耶维奇准备付印并已发表的（[1.26]—[1.28]）只有前三讲。其他讲座的讲稿，遗憾的是，至今尚未找到。

11. 职责范围。

本文主要关注А·Н·科尔莫戈罗夫的著作。因此，上文仅简略且不完整地提到了安德烈·尼古拉耶维奇在处理学校问题时所担任的职务。其完整列表如下：苏联科学院和苏联教育科学院确定中等教育内容中央委员会数学组主席（1964-1968年），莫斯科国立大学附属第18号物理数学学校董事会主席（1963-1987年），《量子》杂志第一副主编（1970-1987年），《学校数学》杂志编委会成员（1965-1987年），全苏物理数学与化学奥林匹克中央组委会数学方法委员会主席（1968-1980年），数届莫斯科、全俄和全苏奥林匹克竞赛评委会主席，苏联教育部学术方法委员会数学委员会主席（1970-1979年）。自1967年起，他是苏联教育科学院院士。

苏联教育科学院于1967年通过改组俄罗斯苏维埃联邦社会主义共和国教育科学院而成立，А·Н·科尔莫戈罗夫是新科学院的21位创始人之一。安德烈·尼古拉耶维奇在教育科学院的职责范围，除了上述工作（其中一部分属于科学院计划）外，还包括参与确定苏联教育科学院的主要研究方向；他在教学法与具体方法论学部（他所在的学部）局务会议和苏联教育科学院主席团会议上作报告，审阅教育科学院的材料并给出结论。档案中发现的一些文件，实质上并非私人意见，而是准备付印的、至今仍未失去意义的完整文章。例如，关于未来30年苏联中等教育发展前景的文本（该文完成于1971年）。

学术方法委员会（УМС）数学委员会是苏联教育部的咨询机构，其任务包括讨论计划在“教育”出版社出版的手稿，为各种问题制定建议。提交讨论的手稿主要构成了每个年级教学-方法 комплектов (俄语: 套装) 的组成部分——包括教科书和教师用书、教学材料（包含补充训练习题、独立作业和测验题目文本）、选修课教材。

作为学术方法委员会主席，А·Н·科尔莫戈罗夫主持了数十次会议。他的领导从不具有纯粹的 протокольного (俄语: 形式上的) 性质。他总是事先详细审阅手稿。讨论常常非常漫长；必定会听取各种不同的观点。在他的发言中，安德烈·尼古拉耶维奇不局限于具体意见，而是提出普遍性的思想，并给出具体的建议。А·Н·科尔莫戈罗夫普遍具有科学上的慷慨，这一点尤其体现在他的学校活动中。他经常邀请作者到自己家里；在交谈中，勾勒出修改手稿的具体途径。

提交给学术方法委员会分组会议及其全体会议讨论的一些问题，在出版物中得到了反映。例如，安德烈·尼古拉耶维奇关于《学校教科书的结构》[4.26]、《在数学和物理课上发展唯物主义世界观》[4.28]等主题的报告已经发表。

12. 晚年著作。

这里指的是А·Н·科尔莫戈罗夫在1978年至1987年期间完成的工作。要理解它们的由来，必须回顾70年代末形成的局面。

众所周知，在1978-79年，学校数学和物理课程大纲以及当时使用的教科书，在苏联科学院数学部（于1978年12月5日专门召开会议讨论学校主题）受到批评，随后也在报刊上受到批评。

对学校数学状况不满的理由无疑是存在的。学者和高校工作者尤其对申请入学者的数学准备水平感到担忧。来自教师、一些国民教育机构的批评，是由于学校课程负担过重、某些主题阐述复杂、以及教学方法上的一些失败。公众的担忧也起到了一定作用：大多数家长发现自己无法帮助孩子弄懂“新数学”。所有这些都成为了苏联科学院数学部通过严厉决议的基础。

事情发生这样的转变并非出人意料。教育，特别是数学教育的激进改革，似乎不可能一帆风顺。Э·博雷尔在本世纪初就预见到了类似的事态发展，他在上文引用的文章中写道：

“改革潮流与其对立的保守潮流，不仅仅在数学领域为中学课程大纲而斗争。如果改革的支持者能很好地理解，任何变革在其推行期间都是有害的，而如果保守派能同意，合理的改变在融入生活一段时间后会变得有益，并且教学不能永远一成不变，那么，也许这些对立的倾向能够在缓慢、谨慎和明智的演变中达成和解。”

遗憾的是，当时未能达成这样的和解。自那时起已过去10年。对中学毕业生数学准备水平的比较，并不能得出结论说这些年情况有所改善。

缺乏显著进展也导致了对讨论后得出的评价体系不完善的结论。似乎有两个情况最为关键。

1. 70年代末关于学校数学教育问题的讨论，最终归结为仅讨论大纲和教科书，问题没有被综合讨论。学生的培养质量无疑取决于大纲和教科书，但远非仅由它们决定。其他因素——教师的资质、教育的声望等等——的影响也非常大。对学校数学学习时间的大幅削减也起到了不小的作用。未经过充分准备就过渡到全民义务中等教育体系，对改革的成果产生了负面影响。

目前，在苏共中央二月（1988年）全会上已经明确指出了存在一整套对教学和培养成果产生负面影响的原因。但10年前，一切都归结为试图仅仅通过修改和更换大纲及教科书来解决数学教育的问题。

2. 随着时间的推移，重新分析针对大纲和教科书的批评是恰当的。改革反对者的具体意见主要归结为：数学课程负担过重及其缺陷是采用“集合论方法”构建课程的结果。引入术语“全等”（конгруэнтные）图形（而不是“相等”的（равные）），将图形明确定义为点的集合，将向量定义为平移（而不是有向线段），与映射（函数）概念相关的一系列概念，复杂的多面体定义——这些都成为了批评的主要靶子。

对此需要指出的是，即使对所有直接或间接与集合相关的材料给予完全负面的评价，也应考虑到其在数学课程中的比重并不大，因此“集合论方法”不可能对学习成果产生决定性的影响。这一点后来也体现出来：将“集合”一词及相应的集合论属性从学校课程中驱逐出去，并未产生应有的效果。

对改革反对者观点的分析，引起了矛盾的态度。无疑，提出了一些正确的意见。例如，关于向量的文本就不成功。教科书确实包含了一些人为设计的题目、概念和命题等。其他一些意见的合理性则不那么明显。例如，在计算机化的条件下，掌握使用符号的熟练技能的必要性，迫使我们重新审视符号在数学课程中的作用和地位。

另一方面，对大纲和教科书的批评显然是不全面的。许多有趣而深刻的构想未能得到应有的体现。例如，基于几何变换构建的几何课程，没有得到相应的方法论、能够与Н·雷布金的传统习题集相媲美的练习体系的支持。没有找到在全民教育条件下有效开展工作的方法。

必须单独谈谈批评的性质。教师和方法学家没有被邀请参与最终决策的讨论。批评迅速被转移到报刊上，包括党报，压制了支持70年代改革思想的声音，并最终导致了问题的强制性解决。

是否存在另一种选择？——当然有。

在70年代末至80年代初，似乎错过了一个非常有利的、认真完善学校数学教育的时机。学校极度需要专业数学家——学者、高校代表——的实际帮助。众所周知，直到1978年，安德烈·尼古拉耶维奇·科尔莫戈罗夫所进行的巨大创造性活动，不仅没有得到同事的支持，甚至完全被数学界所忽视。因批评大纲和教科书而引发的对学校数学的兴趣高涨，本可以体现在一个完善整个数学教育体系的综合性国家计划中，该计划包括改善教师培训、加速为学生和教师出版数学读物的计划、以及协调编写教科书的努力。但这并没有发生。

当时做出了两个决定。一个严厉谴责现有的大纲和教科书，另一个则规定成立新的作者团队来编写旨在取代现有教科书的新教材。

那么，这10年发生了什么？大纲被重新审视并批准了新的。然而比较表明，这个大纲（也得到了改革反对者的认可）保留了1968年大纲的主要元素。至于教科书，大部分经受住了时间的考验（几何教材被А·В·波戈列洛夫的教科书取代）。因此，应当认为，平静、审慎和善意的批评会对共同的事业带来更大的益处。Л·В·坎托罗维奇和С·Л·索博列夫正是提议了这样的道路。他们在提出批评意见的同时，也表达了信心：“尽管困难重重，通过进一步的努力、方法论工作，在对教科书和大纲进行一些修改（与已经完成的主要工作相比是微小的——着重号为我所加，А.А.）之后，我们的学校将获得满足现代生活要求的、完善的数学大纲和教科书”（《学校数学》，1979年第4期，第11页）。他们在1978年12月5日的数学部会议上表达了这一观点，但未获支持。А·И·马尔库舍维奇也持类似观点（见同 期杂志，第11页）。

至于成立新的作者团队的决定，这无疑是正确的，并带来了巨大的益处。正因如此，我们现在拥有了一系列新的教科书，这些教科书是在苏联著名数学家——А·Д·亚历山德罗夫、С·М·尼科尔斯基、А·В·波戈列洛夫、А·Н·季霍诺夫、Д·К·法捷耶夫——的领导和参与下创作的。在编写新教材的过程中，涌现了许多新颖的思想，学校数学教科书的许多问题变得更加清晰。但同时也不能不指出这样一个事实：现有的任何一本教科书都不能完全解决存在的问题；实质上，十年前的状况依然存在。在某种程度上，这似乎是由于缺乏编写教科书的合力。

以上所述并非试图美化改革过程中所做的一切。А·Н·科尔莫戈罗夫本人也承认了一些决策中的错误和失败。（更有甚者，在我看来，在1978年12月5日的学部会议上，对教科书状况进行的最深刻、最批判性的分析，正是由А·Н·科尔莫戈罗夫做出的。）

上述考虑旨在表明，回到对70年代改革的讨论是合宜的，但应在更平静的环境下进行，现在应审视全部问题，并（与之前的辩论不同）计划让一线教师、有经验的方法学家、不同作者团队的代表积极参与讨论，客观评价优缺点。现在，着手进行新的改革时，必须尽可能全面、准确地理解在先前阶段，包括近年来所做的工作。对数学教育现状不满的原因比以前想象的更深，需要共同寻找新的途径。

А·Н·科尔莫戈罗夫对教科书和大纲批评的态度始终是建设性的。课程负担过重的问题在1979年出版的《几何学6-8》修订版中得到了一定程度的考虑，而在1980年则推出了《代数与分析初步9-10》的新的修订版。在1979-1981年间，安德烈·尼古拉耶维奇积极寻找完善教科书的途径。那时出现了“向量”主题阐述的新版本[1.62]；思考了引入极限概念的各种方案（部分反映在文章[1.68]中），为6-8年级设计了原则上全新的几何课程结构。这一进程因疾病而放缓，疾病早在1979年就严重限制了安德烈·尼古拉耶维奇的工作能力。

尽管如此，在生命的最后几年，А·Н·科尔莫戈罗夫仍继续指导教科书的修订工作——审阅文本，口述补充内容。1986年，代数与分析初步教材的修订版问世。1987年，结合全苏教科书竞赛的举办，进行了新的修订——教材《代数与分析初步10-11》和《几何学7-9》提交参赛。

在1982-1987年期间，安德烈·尼古拉耶维奇被迫只能撰写他口述的非常简短的文章。在А·Н·科尔莫戈罗夫生前发表的最后一篇文章是《论标量》[1.74]。他始终非常重视这个主题；在他去世后整理档案时，发现了一篇致力于标量公理化的论文——其日期为1923年。

学校活动在安德烈·尼古拉耶维奇生活中所占的位置，可以从他留存下来的话语中判断。1986年，他在回应生日祝贺时，特别说道：

“就我而言，我认为我的科学生涯，在获得新的科学成果方面，已经结束了。我为此感到悲伤，但向不可避免的现实低头。近年来，我的活动转向了另一个方向，参与到对我们国家如此重要的事情——学校改革中来。在这里，首先，我认为，如果年老不构成障碍，我还能做出许多有益甚至不可替代的贡献，为普通学校和为热衷科学的青少年编写教科书。这两个方向都让我着迷，并且有愿望以最充沛的精力和年轻人的热情参与其中。但时间在流逝，计划进行某项工作的月份过去了，但工作却一再推迟……因此，选择那些你最难以被替代的活动方向变得尤为重要，而我现在正处在一个十字路口。如果我专注于为有能力的孩子编写教材，就来不及参与为普通学校编写教材。而现在你们正好看到我处于这样的十字路口。如果我同意在其中一个方向上积极并充分地工作，我就无法在另一个方向上这样做。诸如此类的内心挣扎在老年时期尤其加剧……”

学校，作为社会的社会机构之一，是一个极其复杂的有机体，其命运由各种不同因素的作用决定。因此，对学校生活的某些干预是否合宜的充分评估，只有在经过一段时间后才成为可能。而且，常常尽管有充分证据证明总体的积极（或相反，消极）评价，我们也会注意到相反性质的表现。

安德烈·尼古拉耶维奇·科尔莫戈罗夫在教育领域的活动，旨在发现、唤醒和发展青少年的数学能力，已经取得了卓越的成果，因此获得了高度评价，并得到广泛认可。

对完善整个学校数学教育体系工作成果的客观评估，则是一项 wesentlich (德语: 本质上) 更困难的任务，这既是因为决定最终结果的因素众多，也是因为评价标准存在一定的模糊性，这使得客观分析变得困难。或许正因如此，关于70年代改革的现有观点谱系非常广泛。

这次改革的真正意义和价值将由时间来揭示。全面的分析、审慎的评估尚待进行。但现在已经可以清楚地看到，А·Н·科尔莫戈罗夫宏伟的教育遗产注定拥有长久的生命力。А·Н·科尔莫戈罗夫已发表的（以及尚未发表或未找到的）关于学校主题的著作，构成了黄金宝库，无论是在我国还是国外，学生和教师、数学教学方法专家、教科书编者们现在和将来都会求助于它。

А·Н·科尔莫戈罗夫的教育创造之所以具有非凡价值，首先在于它反映了一位拥有独特品质组合——数学天才、教育才能、对学校问题极深兴趣——的人对学校数学内容和教学方法的极其广阔的视野。А·Н·科尔莫戈罗夫的教育原则、他的具体思想和解决方案，人们可以接受也可以不接受，但必须去研究它们。

А·Н·科尔莫戈罗夫教育遗产的价值还在于他曾长期直接在学校工作，他本人就是许多代中学生的教师和导师。

目前，人们已经认识到全社会参与培养下一代的重要性。但在实践中，存在着许多客观和主观原因，使得绝大多数科学家、文化活动家、作家、工程师等，要么不参与，要么急剧限制自己在这方面承担的责任范围。原因各不相同：不愿牺牲从心爱事业中抽出的时间，职责繁重，个人情况；有时是害怕承担责任，认识到学校问题的极端复杂性等等。

所有这些原因，毫无疑问也曾摆在А·Н·科尔莫戈罗夫面前，当他承担起对学校数学教育命运的重任时。或许，他根本无法做出其他选择：他那 постоянное (俄语: 持续的) 创造 стремление (俄语: 渴望)、对学校 искренний (俄语: 真诚的) 深厚兴趣、对问题国家重要性的理解，决定了他的Поступок (俄语: 行动，这里指承担责任的决定)。

А·Н·科尔莫戈罗夫 достойно (俄语: 体面地，有尊严地) 履行了他的 долг (俄语: 职责)。直至最后。

安德烈·尼古拉耶维奇·科尔莫戈罗夫将多年生命奉献给学校的一生，是最高尚的道德情操、勇气、公民责任感的典范。

脚注: