Peter Scholze访谈录：算术几何与合作

06 Oct, 2025

该访谈中，数学家彼得·舒尔茨介绍了自己的学术生涯和主要研究兴趣，强调了他对算术几何的专注和理解作为其核心目标。舒尔茨描述了他如何在柏林一所特殊学校开始接触数学，以及他在波恩大学的学习和随后的职业发展，包括目前在马克斯·普朗克数学研究所担任主任的职位。他探讨了数学的连通性，以及他对朗兰兹纲领及其几何版本的研究，特别是与Fontaine-Faul 曲线相关的局部朗兰兹对应。此外，他还讨论了他与合作者在发展凝聚数学框架方面的工作，旨在为某些复杂的理论提供基础，并分享了与代数拓扑和形式化证明（如液体张量实验）相关的个人见解和协作经历。

访谈实录

学术生涯与背景

采访者：Scholze教授，您好。您能简单介绍一下您的成长背景和学术生涯吗？

Peter Scholze：你好，我是Peter Scholze。我在柏林长大，并在那里上了一所学校，这所学校在某种程度上是苏联时代的遗物。这是一所特别的学校，侧重于数学和自然科学，在其历史上培养了许多非常知名的数学家，其中很多或多或少都是从事代数几何研究的。

因此，在我的高中时期，我就对代数几何深深着迷。当高中毕业时，我必须考虑应该去哪里上大学。出于某种原因，我当时想留在德国，最终决定波恩会是一个非常好的选择，并最终与Michael Rapoport教授一同工作，他实际上也曾就读于我所在的那所特殊学校。

2007年我来到波恩，2012年我获得了博士学位。之后我做了几年的克莱研究员（Clay Research Fellow），然后先是在波恩大学担任教授，现在我是马克斯·普朗克研究所的主任。

研究理念与核心目标

采访者：这是一个很好的问题。您如何定义自己作为一名数学家的身份？您仍然认为自己是一名算术几何学家吗？

Peter Scholze：是的，我仍然认为自己是一名算术几何学家，尽管我可能对其他事物也感兴趣。但我的主要兴趣仍然是算术几何，而我对其他领域的兴趣，主要是因为我想将它们应用于算术几何中的某些问题。我确实感觉到数学是万物互联的，能在不同学科之间流畅地切换并将它们联系起来，是一件非常有趣的事情。通过这种方式，你可以与许多不同的数学家交谈，获得新的想法。但我的主要焦点仍然是算术几何。

采访者：那么，您的研究主要目标是什么？是解决特定问题，还是发展更抽象的框架？

Peter Scholze：我认为我的首要目标是“理解”。其他的一切都只是其中的一部分。要深刻理解某件事物，通常需要从一个可能稍微更抽象的角度来看待它。因此，很自然地，有时你会为了更好地理解某件事而发展出一些新的框架。但这些框架的出发点也常常是非常具体的计算。所以，对我来说，首要目标确实是理解。

更具体地说，我想要理解的是某个空间的几何结构，对我而言，这是算术几何中最基本的空间，即整数谱（the spectrum of the integers），写作 $S p e c (ℤ)$ 。自上世纪60年代以来，人们就知道它在许多方面表现得像一个三维流形。在这个领域有各种各样的类比，但在很多方面都相当模糊。至少，我正在努力越来越好地理解这幅图景。

朗兰兹纲领与几何方法

采访者：您的许多工作都与朗兰兹纲领（Langlands program）有关。您能解释一下这个纲领是什么，以及它是如何演变成一个更加几何化的版本的吗？

Peter Scholze：朗兰兹纲领已经变得相当庞大了。举个轶事，我在朗兰兹纲领中做了一些研究，但在某个时候，我曾想专注于我工作的其他方面，这引导我接触到一些近乎物理的东西，甚至更远。然后我突然意识到，我又在做朗兰兹了，尽管我曾试图摆脱它。

我想，由朗兰兹本人最初设想的原始朗兰兹纲领，是关于数论的，涉及有理数以及所谓的自守形式，这些形式与算术群有关，也就是有理数矩阵群之类的东西。但人们很快意识到，由于数域和有限域上的函数域之间存在非常强的类比——这一点最初由安德烈·韦伊（André Weil）在40年代左右强调——朗兰兹纲领的很多内容几乎可以完全相同地在这些函数域上实现。弗拉基米尔·德林费尔德（Vladimir Drinfeld）在这方面做了大量工作。

但随后德林费尔德也意识到，一旦你处于一个有限域上的曲线的情境中，你或许也可以尝试在代数闭包上的曲线，或更一般地，在任何代数闭域上的曲线上做类似朗兰兹的事情。突然之间，这变得几何化多了，因为你真的有了一个代数闭域上的曲线，你甚至可以取复数，在这种情况下你得到的就是黎曼曲面。这就是后来所谓的几何朗兰兹纲领。

它在某种意义上更几何，但在另一方面，也抽象得多，因为其主要研究对象在范畴层面上高了一个级别。在朗兰兹的原始构想中，你研究的是自守函数，而在几何朗兰兹纲领中，你研究的是自守层（automorphic sheaves），甚至是这些层的整个范畴，并试图描述这整个范畴。

比较近一些，不同世界之间出现了一个“虫洞”。大约在2010年，让-马克·方丹（Jean-Marc Fontaine）和洛朗·法尔格（Laurent Fargues）引入了所谓的方丹-法尔格曲线（Fontaine-Fargues curve），其初衷是出于p进霍奇理论（p-adic Hodge theory）的考虑。但法尔格有一个天才的想法，即也可以尝试在这条曲线上实践几何朗兰兹。他意识到，如果这样诠释，基本上可以得到朗兰兹最初感兴趣内容的局部版本。这突然在几何朗兰兹纲领和朗兰兹原始设定的局部部分之间，建立了一个非常奇特的虫洞。

前沿研究：凝聚数学与新理论

采访者：基于方丹-法尔格曲线的工作，您目前的研究方向是什么？我们听说您正在发展一个名为“凝聚数学”（condensed mathematics）的新框架，它与这些问题有何关联？

Peter Scholze：大约十年前，洛朗·法尔格提出了一个建议，即可以通过方丹-法尔格曲线上的几何朗兰兹来实现数域情况下的局部朗兰兹对应。一个非常自然且有趣的问题是，对于全局域（global fields），即数域，是否存在一个类似的理论。

我对于这样一个理论应该是什么样子有一些构想。基本上，它应该将德林费尔德在函数域情况下引入的“什图卡”（shtukas）理论应用于数域情况。这与模体（motives）理论、志村簇（Shimura varieties）以及许多其他事物都有各种联系。我正在某种程度上尝试寻找一个在 $S p e c (ℤ)$ 上存在的什图卡理论，如果它存在的话——这并不那么清楚，因为表面上，你正在寻找的东西看起来似乎不应该存在。

我正从不同角度来处理这个问题。最近的一个进展是，法尔格的建议只适用于非阿基米德局部域，而对于实数这个阿基米德局部域，它并不奏效。但现在我也找到了一个至少适用于实数的版本。很明显，要理解这个假想的在 $S p e c (ℤ)$ 上的什图卡理论，需要某种相当高级的几何学。我与达斯汀·克劳森（Dustin Clausen）正在发展的解析栈（analytic stacks）和凝聚数学理论，就是想作为一个框架，我希望在其中，这些空间可能得以存在。此外，我还有一些其他的方法来推动这些事情的进展。

合作经历与洞见

采访者：在马克斯·普朗克研究所这样的环境中，合作是否扮演了重要角色？您能分享一些印象深刻的合作经历吗？

Peter Scholze：或许我可以讲一个我认为只有在马普所才可能发生的合作。因为在这里，你会与那些你通常可能不会遇到的数学家建立意想不到的联系。

大约在2016年左右，受 $S p e c (ℤ)$ 哲学的启发，我构思了一个构造，它是所谓的哈比罗环（Habiro ring）的一个版本。哈比罗环是一个由单位根附近的幂级数构成的有趣环，它在马普所非常受欢迎——尤里·马宁（Yuri Manin）、我的同事，以及唐·扎吉尔（Don Zagier）都研究过它。我当时想知道是否存在一个由这个环上的模（modules）构成的上同调理论。我意识到，至少对于阿廷根（Artin motives），也就是 $ℚ$ 的有限扩张，我能够写出答案应该是什么，从而给出一个数域的哈比罗环。但当我试图在正维数情况下做些什么时，却一无所获。于是我有点放弃了这个想法。

但有一天，扎吉尔和一位合作者告诉我，他们想和我谈谈，因为他们发现了一些有趣的幂级数，想知道我是否对此有什么看法。他们并不知道我了解哈比罗环，所以他们先是试图温和地向我介绍哈比罗环，然后展示了一些更复杂的幂级数，他们怀疑这些级数应该位于某个数域的哈比罗环中，并问我是否知道这样的东西应该长什么样。我当时想：“哦，是的，我知道一个。”

所以，他们在我已经几乎放弃希望的环中，找到了具体的元素。这促成了一个酝酿已久的合作项目，因为我们必须将微扰复陈-西蒙斯理论（perturbative complex Chern-Simons theory）——某种量子场论的东西——与p进理论的东西联系起来。这对我来说仍然极其困惑，但最终我们不仅给出了精确的定义，甚至证明了他们做出的数值观测。这把我带到了全新的数学领域，特别是像陈-西蒙斯理论这样的东西，而且它似乎与我感兴趣的问题有些联系。我对这一切都感到有点敬畏。

采访者：除了合作带来的火花，您在独立研究中有没有经历过所谓的“尤里卡时刻”（Eureka moment）？

Peter Scholze：关于尤里卡时刻，通常情况是，你有一个想法，两天后你意识到那全是错的。然后当你最终意识到它在某种程度上是对的之后，经历了所有这些起起伏伏，你已经不记得最初的那个瞬间了。

不过，有一件事我确实挣扎了很长时间。我曾一度试图理解所谓的拓扑循环同调（topological cyclic homology）。我开始思考这个问题，是因为我的第一位博士后正在研究它，我意识到它可能与我感兴趣的p进理论中的某些东西有关。所以我试着去学习拓扑循环同调是什么，但我发现非常困难，因为它使用了一种所谓的“等变稳定同伦理论”（equivariant stable homotopy theory）。在我看来，代数拓扑学家使用“等变”（equivariant）这个词的方式，与其他数学家非常不同。他们有一种他们称之为“等变”或有时是“真正等变”（genuine equivariance）的概念，还有一个他们称之为“朴素等变”（naive equivariance）的更简单的概念。但我想考虑的“等变”比他们的“朴素”还要朴素，以至于他们甚至没有一个词来形容这种朴素程度。

尽管如此，我还是努力在这个层面上理解 $S^{1}$ 等变拓扑循环同调的含义，并进行了一些计算。在大量计算之后，我突然意识到其中存在一种模式。我意识到，或许仅仅使用他们整个“真正等变”结构中一些非常朴素的结构，我仍然可以理解完整的拓扑循环同调。之后我与托马斯·尼古劳斯（Thomas Nikolaus）讨论，他认为可能需要加入一些假设，但这个想法基本上是可行的。这算是一个“尤里卡时刻”吧，我终于以一种对我自己有意义的方式，理解了拓扑循环同调是什么。

采访者：最近，数学界对形式化证明的兴趣日益浓厚，比如使用Lean的“液体张量实验”（liquid tensor experiment）也与您的工作有关。您对此有何看法？

Peter Scholze：我参与了那个形式化项目，与其说是参与形式化本身，不如说是参与了相关讨论。那是一个形式化达斯汀·克劳森和我的一个定理的实验。我在他们活跃讨论的Zulip聊天室里玩得很开心。我从未亲自使用过Lean，项目结束后，我也没有再真正参与那个社区。

我确实认为他们能做到的事情非常了不起，也觉得这很有趣，但这不是我个人想做的事情。至于这个方向会走向何方，我不知道。我在那个形式化项目快结束时意识到一件事，那就是它并不能真正给予你完全的信心。比如，在某个时刻，他们形式化了一个关于凝聚集、巴拿赫空间（Banach spaces）等的定理，然后他们用自己设定的定义证明了所有某个 $E x t$ 群（X groups）都消失了。但这成立的一个平凡的方式是，如果他们偷偷地把自己定义的所有巴拿赫空间都定义为零。

所以，你必须去检查巴拿赫空间的定义是否真的是你所想的巴拿赫空间。在某个阶段，他们会告诉你，现在你只需要检查所有的定义是否符合你的想法，而无需再检查证明。但我试着为液体张量实验做了一点检查定义的工作，然后我意识到这根本不可能，因为即使是定义，代码量也太大了。而且他们可能在某个地方用了很多小的语法技巧。我对Lean的语法不够熟悉，无法真正判断一个定义是否完全符合我的想法。所以我觉得，如果我真的要用一个Lean形式化的证明来说服自己它是对的，我可能还是得自己过一遍那个证明。不过，也许我过于……我不知道。我对形式化将把我们引向何方没有一个清晰的愿景。

采访者：这是一个有趣的问题：如果您没有成为一名数学家，您会做什么？

Peter Scholze：好问题。我可能太早地走上了数学家的轨道，以至于很难想象一个我不学数学的备选情景。不过，我从来不确定自己是否能在学术界取得成功，所以我的B计划一直是成为一名高中老师，没什么特别的。

采访者：在研究之外，您有什么爱好吗？

Peter Scholze：在家庭、做数学以及研究所生活等所有事情之间，我发现很难找到时间发展爱好。我喜欢听些音乐，有时会去听音乐会。

采访者：关于如何进行富有成效的合作，您有什么建议吗？您与合作者是如何开始合作的？

Peter Scholze：我认为合作是非常个人化的事情，所以我没有什么通用的建议。我只是对想法非常开放，会广泛地分享想法，然后有时人们会主动找到我，说“嘿，我想把某个想法实现出来”。如果你对自己的工作非常保密，那你可能不会有很多合作。

例如，我的一位亲密合作者是巴拉夫·巴特（Bhargav Bhatt）。合作的开始是因为他找到我，说他很想把pro-étale site这个想法实现出来。我当时在刚性簇（rigid varieties）的情况下引入了这个概念，很明显应该有一个适用于概形（schemes）的更小的初等版本，这为谈论某些事情提供了一种更清晰的语言。我当时有点惊讶，因为他也是一位非常强的数学家，而这只是一个没有太大前景的项目，它不会证明任何重要的定理，只是好玩而已。但他还是找到我，表示想和我一起完成它。我和他合作得非常愉快。后来，这篇论文的影响力远超我们当时的想象，因为“凝聚数学”在某种意义上就是在那时诞生的。

这里有个趣闻。达斯汀·克劳森在arXiv上看到我和巴特的这篇论文时，他感到非常困惑，不明白为什么这两个厉害的人会突然写这么无聊的论文。他当时对pro-étale site评价很低。后来，他独立地提出了凝聚形式主义（condensed formalism）。实际上是我不得不说服他，他只是在重新发明pro-étale site，因为他认为那是别的东西。所以，我们一开始谁都没有意识到那里有些非常有趣的东西。后来，我和巴特合作得非常愉快，我们一起讨论了很多数学，并最终合写了许多论文。

还有其他的合作，比如与扎吉尔的合作，那完全是源于一个巧合——我们俩恰好都在研究同一种东西，即数域的哈比罗环，只是从非常不同的角度出发，并试图找到一些共同点。

与托马斯·尼古劳斯的合作也很有趣。我其实在我早期学习阶段就认识他，我们曾一起参加一个夏令营。当时他还在学习理论物理，做的或多或少是弦理论方向的工作，而我则是一个纯粹的数论家。然后大概五年后，我们竟然合写了一篇关于代数拓扑的论文。

采访者：在马克斯·普朗克数学研究所工作是怎样一种体验？

Peter Scholze：这里总是有很多数学家，他们了解各种各样的领域。无论你对数学的哪个领域有任何问题，你都可能在下午茶时间找到答案。我们每天下午四点有茶歇，研究所的每个人都会去，聊聊天。你可以随时向随机遇到的专家询问你当下感兴趣的问题。是的，在研究所里，数学无处不在，你呼吸的都是数学。这感觉很棒。

访谈概要

Peter Scholze学术生涯与背景

在柏林长大，并就读于一所注重数学和自然科学的特殊学校，该校在历史上培养了许多知名数学家，尤其是在代数几何领域。
高中时期就对代数几何产生了浓厚的兴趣。
高中毕业后，决定留在德国学习，并选择了波恩大学。
师从 Michael Rapoport，他也是同一所特殊学校的校友。
于2007年来到波恩，2012年获得博士学位。
曾担任克莱研究员（Clay Research Fellow），之后成为波恩大学的教授。
现任马克斯·普朗克数学研究所（Max Planck Institute for Mathematics）的主任。

研究理念与核心目标

将自己定位为一名算术几何学家，对其他领域的兴趣主要是为了将其应用于算术几何中的特定问题。
认为数学是相互关联的，并乐于在不同学科之间流畅地切换和连接。
其首要目标是“理解”（understanding）。
发展新的理论框架是为了更好地理解事物，而这些框架的出发点常常是具体的计算。
一个特定的目标是更好地理解整数谱（spectrum of the integers）的几何结构，即 $S p e c (ℤ)$ 。
自20世纪60年代以来，人们就知道这个空间在许多方面表现得像一个三维流形。

朗兰兹纲领与几何方法

研究涉及朗兰兹纲领。
最初的朗兰兹纲领关注数论、有理数以及与算术群相关的自守形式。
由于数域和有限域上的函数域之间存在强烈的类比，该纲领的许多内容可以被移植到函数域上。
Drinfeld意识到，当处理有限域上的曲线时，可以将朗兰兹式的思想应用于任意代数闭域上的曲线，这催生了“几何朗兰兹纲领”。
几何朗兰兹纲领在范畴层面上比原纲领高一级，研究的是自守层（automorphic sheaves）甚至整个层的范畴。
约2010年，Jean-Marc Fontaine和Laurent Fargues引入了Fontaine-Fargues曲线，这在不同世界之间建立了一个“虫洞”。
Fargues提出可以在这条曲线上实践几何朗兰兹，并意识到这可以得到朗兰兹最初感兴趣内容的局部版本，从而在几何朗兰兹纲领与原纲领的局部部分之间建立了联系。

前沿研究：凝聚数学与新理论

Fargues关于通过Fontaine-Fargues曲线实现局部朗兰兹对应的提议适用于非阿基米德局部域，但不适用于实数（阿基米德局部域）。
Scholze最近找到了一个也适用于实数的版本，并且正在尝试为数域构建一个全局性的类似理论。
他的构想是将在函数域情况下的“shtukas”理论应用于数域情况，并正在尝试寻找一个在 $S p e c (ℤ)$ 上存在的shtukas理论。
他与Dustin Clausen共同发展的“凝聚数学”（condensed mathematics）理论，旨在为这些可能存在的空间提供一个基础框架。

合作经历与洞见

与Don Zagier的合作：
- Scholze曾研究过哈比罗环（Habiro ring）的一个版本，并为阿廷根（Artin motives），即 $ℚ$ 的有限扩张，构建了相应的上同调理论，但因无法推广而放弃。
- 后来，Zagier在不知道他先前工作的情况下，就一些复杂的幂级数向他咨询，这些级数恰好位于他已构建的环中。
- 这次巧合促成了一个连接微扰复陈-西蒙斯理论与p进理论的联合项目。
理解拓扑循环同调：
- 在理解拓扑循环同调（topological cyclic homology）时曾遇到困难，因为它使用了代数拓扑学家以一种独特方式定义的“等变稳定同伦理论”（equivariant stable homotopy theory）。
- 他发现自己需要的“等变性”比拓扑学家们最朴素的定义还要简单。
- 通过大量计算，他最终发现了一种模式，并与Thomas Nikolaus讨论后，确认可以用一种更简单的方式来理解完整的拓扑循环同调。
关于形式化证明的看法：
- 曾参与“液体张量实验”（liquid tensor experiment）的线上讨论，该实验使用Lean证明辅助系统形式化了他与Dustin Clausen的一个定理。
- 他认为形式化证明令人印象深刻，但无法给予完全的信心，因为验证形式化定义本身的代码量巨大，最终仍需信任其定义是正确的。
凝聚数学的诞生：
- 他与Bhargav Bhatt合作的一篇关于pro-étale site的论文，最初只是出于兴趣，但后来变得极具影响力，因为“凝聚数学在某种意义上就诞生于此”。
- Dustin Clausen最初认为这篇论文很“无聊”，但后来独立地提出了凝聚形式主义，Scholze不得不说服他，这其实是pro-étale site的“再创造”。