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Gilbert Strang：线性代数、教学以及MIT开放课程「LexFridman访谈#52 」

引言

以下内容整理自与麻省理工学院数学教授 Gilbert Strang 的接受Lex Fridman的访谈。Strang 教授以其在线性代数教学领域的卓越贡献和深远影响而闻名，他通过 MIT OpenCourseWare 发布的视频课程，已成为全球数百万学习者的宝贵资源。本次对话的核心围绕线性代数这门学科展开，深入探讨了其基本概念的内在逻辑与美感，例如四大基本子空间和奇异值分解（SVD），并阐述了线性代数在当代科技，特别是数据科学、人工智能及深度学习等领域日益凸显的重要性。

除了对线性代数的专业解读，Strang 教授还分享了他对 MIT OpenCourseWare 创立初衷与价值的看法，回顾了其作为教育者的心路历程，包括他对教学方法、学习过程的思考，以及他对线性代数与微积分这两门基础数学课程关系的独到见解。对话中也穿插了他对数学本质的理解、个人最欣赏的数学结构，以及对数学在更广泛社会中所扮演角色的观察。

内容纲要

├── I. Gilbert Strang 与 MIT OpenCourseWare 的影响力
│   ├── Strang教授的教学风格与影响力 (平静、简洁、热情)
│   ├── 对“数学摇滚明星”称号的回应
│   ├── OCW线性代数视频的广泛传播与原因 (学科重要性、教学经验)
│   └── 主持人作为OCW学生的个人经历
├── II. MIT OpenCourseWare 的起源与理念
│   ├── OCW的诞生背景 (委员会与市场化探索)
│   ├── “免费分享”的革命性想法及其通过
│   └── Strang教授对OCW理念的认同 (符合MIT精神)
├── III. 线性代数的核心与魅力
│   ├── 线性代数重要性的提升
│   ├── 四大基本子空间 (The Four Subspaces)
│   │   ├── 概念介绍 (列空间、行空间、零空间、左零空间)
│   │   ├── 对向量的理解 (数字列 vs 箭头)
│   │   └── 高维空间的抽象与处理
│   ├── 线性代数 vs 微积分 (Linear Algebra vs Calculus)
│   │   ├── 基础性与简洁性对比 (平面 vs 曲线)
│   │   ├── 教学顺序的讨论
│   │   └── 处理高维问题的能力
│   └── 线性代数之美 - 奇异值分解 (SVD)
│       ├── 作为理解矩阵/数据的工具
│       ├── 定理: 旋转-拉伸-旋转 ($A = U \Sigma V^T$)
│       └── 几何意义与应用价值
├── IV. 数学的本质、学习与吸引力
│   ├── 可视化与抽象思维
│   ├── 数学的确定性、秩序与美感 (慰藉来源)
│   ├── 数学作为工具与艺术 (Strang教授的倾向)
│   ├── 大众对数学兴趣的增长
│   ├── 学习方法探讨 (实例 vs 抽象)
│   ├── 教学与评估的反思 (Strang教授的侧重)
│   └── 对初学者的建议 (寻找热情教师、保持兴趣)
├── V. 线性代数、深度学习与数据科学
│   ├── 数据与矩阵的天然联系
│   ├── 深度学习 (Deep Learning)
│   │   ├── 基本概念 (从数据中学习规则)
│   │   ├── 神经网络结构 (线性+非线性组合)
│   │   ├── 线性代数的关键作用
│   │   ├── 非线性的引入 (分段线性、折叠)
│   │   └── 工作原理与有效性 (表达能力、复杂函数逼近)
│   └── 深度学习的局限性 (Limits of Deep Learning)
│       ├── 对数据模式的依赖 (信噪比)
│       ├── 计算能力的演变
│       └── 作为自动化规则搜索的过程
└── VI. 个人视角与反思
    ├── 理论与应用的倾向 (Strang教授的自我定位)
    ├── 最喜欢的矩阵 (K矩阵: -1, 2, -1型)
    ├── 数学与社会 (政治领域缺失、SIAM经历)
    └── 生活乐趣与职业自豪感的来源 (教学、连接、反馈)

访谈实录

I. Gilbert Strang 与 MIT OpenCourseWare 的影响力

Lex： 作为现代数学界的摇滚明星之一，感觉如何？

Gilbert： 我不觉得自己像个摇滚明星，这对一个老数学家来说有点疯狂。但确实，我在大约 2000 年制作的那些线性代数视频被观看了很多次。这部分是因为线性代数这门学科的重要性，我相信你稍后会问到，我也会有机会说，线性代数作为一门学科，其重要性确实急剧上升。

此外，这也是我教了很多次的课程，所以内容组织得比较好，而且我乐在其中。那些视频其实就是课堂录像，发布在 OpenCourseWare 和 YouTube 上，还被翻译了，这很有趣。

主持人评论： 那块黑板，以及您在开始时解释基本概念的方式，那种简洁性，确实有其特别之处。老实说，我读本科时，在上我们大学的线性代数课之前，我就在看 OpenCourseWare，您就是我的老师。我们用的也是您的书。成千上万，甚至数百万的人观看了那些视频，这真的很有力量。

II. MIT OpenCourseWare 的起源与理念

Lex： 您认为将讲座放到网上的想法是如何产生的？MIT OpenCourseWare 在这方面确实是创新者。

Gilbert： 是的，那是个很棒的主意。我听到的故事是，当时的校长 Charles Vest，一位了不起的人，任命了一个委员会。委员会的目的是研究 MIT 如何能像其他大学那样，将我们的工作市场化。但他们没找到方法。经过一个周末的思考，他们灵光一闪，回来向 Vest 校长提议：“我们干脆把它免费分享出去怎么样？” 校长决定，这是个好主意。

Lex： 如果我们把大学看作是创造知识产品（教育知识）的地方，那么免费分享这个产品，您对它最终获得通过感到惊讶吗？

Gilbert： 了解一点 Vest 校长，我觉得这很像他的风格。而且这确实是正确的想法。MIT 以其高水平的技术内容而闻名，而这是我们展示 MIT 真实面貌的最佳方式。就我而言，那些 18.06 的视频就是真实的课堂教学，在 26-100 教室录制的。人们看这些视频觉得挺有趣，有人写信给我说我有幽默感，我不知道那从何而来，大概是我和班级相处融洽，我喜欢学生。

那些 18.06 的视频就是纯粹的课堂教学，它们就在 26-100 教室里进行。看这些视频还挺有趣的。有人写信给我说：“哦，你挺有幽默感的。”但我不知道这种幽默感是怎么体现出来的。总之，我和班级关系很好，我喜欢学生。然后，线性代数这门课，我们必须给予这门学科大部分的功劳，它的重要性在这些年里确实突飞猛进。

III. 线性代数的核心与魅力

Lex： 让我们来谈谈线性代数，因为它既是数学中一个强大又优美的子领域。那么，在您讲解、讲述故事、教导学生时，您个人最喜欢的线性代数，乃至整个数学中的具体主题是什么？

Gilbert： 好吧，在教学方面，这完全不是什么深奥的数学，但我对“四个基本子空间”这个想法感到有点自豪。当然，这四个基本子空间在我给它们命名之前很久就存在了。

III. 四大基本子空间 (The Four Subspaces)

Lex： 您能详细介绍一下这四个子空间吗？

Gilbert： 当然可以。首先要理解的是矩阵。也许我应该先说说什么是矩阵。矩阵就像一个数字的长方形排列，它有 n 列，也有 m 行。当然，列和行使用的是同一批数字，所以它们之间肯定有联系，但这种联系并不简单。列可能比行长，数字的排布也是混合的。

第一个要考虑的空间是，取矩阵的列。这些列是向量，是 m 维空间中的点。

Lex： 什么是向量？

Gilbert： 物理学家可能会把向量想象成空间中的一个箭头，或者箭头指向的那个点。对我来说，它就是一列数字。

Lex： 在线性代数中，您对向量的思考方式似乎比它通常的用法更抽象一些，对吗？您似乎立刻就进入了任意多维空间。

Gilbert： 是的，我直接就在高维空间里思考，在 m 维空间里。在课堂上我尝试这样做，比如思考十维空间中的两个向量。我会坦诚地告诉学生，我的脑海里并没有一个清晰的十维空间箭头的图像。但无论如何，你可以把一组十个数字加到另一组十个数字上，也就是向量加法，你也可以把一个向量乘以 3，也就是数乘。如果你知道怎么做这两件事，你就掌握了线性代数，哪怕是在十维空间里。

Lex： 数学中有个很美妙的地方，比如弦理论等，这些理论基本上是通过数学推导出来的，但却很难可视化。您如何看待像十维向量这样我们无法真正可视化的事物？然而数学却揭示了我们世界中某种我们无法可视化的潜在美。您如何看待这种差异？

Gilbert： 可能我不是一个非常几何化的人。我可能是在三维空间中思考，而线性代数的美妙之处在于，它可以毫无问题地延伸到十维空间。如果你看到在三维空间中两个向量相加会发生什么，那么你也可以在十维空间中相加它们，你只是在加十个分量。所以我不能说我脑海里有图像，但我确实试图引导学生去想象十维空间中的一个平面，一个平坦的表面。

所以，这是子空间之一：取矩阵的所有列，取它们的所有组合。也就是这个列的若干倍，加上那个列的若干倍等等。把所有这些组合放在一起，你会得到某种平坦的表面，我称之为向量空间，一个由向量构成的空间。我的想象力可能只是看到了三维空间中的一张纸。

这就是第一个空间，矩阵的列空间。然后是行空间，正如我所说，它不同，但来自同一组数字。所以我们有列空间，即列的所有组合；还有行空间，即行的所有组合。这些词对我来说很容易说出来，但我无法真正在黑板上画出来，尽管我尝试用我的粗粉笔——大家都喜欢那种铁路粉笔，我也一样，现在我只用那个。

另外两个空间与这两个空间垂直。比如，在三维空间中你有一个平面，只是一个平坦的表面，那么垂直于这个平面的就是一条线。这就是所谓的零空间 (Nullspace)。所以，我们有列空间、行空间，以及与它们垂直的两个空间（零空间和左零空间）。这四个空间构成了一幅关于矩阵的优美图景。是的，这算是一个基础概念，不算难，在 18.06 课程早期就会讲到，它涉及到这些多维空间中的平面。

Lex： 回顾历史，您认为这个关于多维空间中平面的想法有多难被构想出来？我认为从数学上讲它很合理，但对我们来说，去想象我们刚才讨论的东西，可能并不直观。感觉微积分更容易直观理解。

Gilbert： 我得承认，微积分确实出现得更早，早于线性代数。牛顿和莱布尼茨是理解微积分关键思想的伟人。但对我来说，线性代数像是起点。

III. 线性代数 vs 微积分 (Linear Algebra vs Calculus)

因为线性代数处理的都是“平”的东西。微积分的所有复杂性都来自于曲线、弯曲、曲面。线性代数里，所有的表面都是平的，没有任何弯曲。所以它本应该先出现，但事实并非如此。

微积分在高中课程和大学课程中也通常先出现，大学第一年的数学通常是微积分。然后我会说，够了，该学点好东西了。

Lex： 您认为线性代数应该先学？

Gilbert： 是的，我真的这么认为。虽然它实际上不是先学的，我也能接受，但它确实应该先学。因为它更简单，一切都是平的。当然，正因为如此，微积分某种程度上局限于一维，或者最终会涉及多元，但那基本上也只是二维。而线性代数可以毫无问题地进入十维空间。只是超越二维感觉有点可怕和危险，但如果一切都是平的，你就不会出错。

III. 线性代数之美 - 奇异值分解 (SVD)

Lex： 在线性代数或整个数学中，您觉得哪个概念或定理最为优美，让您驻足惊叹？

Gilbert： 我还是专注于线性代数吧。我希望听众知道，数学真的是一个奇妙的学科，充满了深刻的联系，连接着那些看起来毫不相关的思想，结果它们却有关联。

但如果我们只谈线性代数，我们有一个基本的东西，就是矩阵，一个数字的长方形。它可能是一个数据矩形。你可能稍后会问我数据科学，数据通常以矩阵形式出现。比如，每一列对应一种药物，每一行对应一个病人，如果病人对药物反应良好，你就在对应位置填入一个正数。

总之，一个数字矩形，一个矩阵，是基础。最大的问题是如何理解所有这些数字，你有一大堆数字，其中的模式是什么？发生了什么？

将这个矩阵分解成简单部分的一种方法，使用了所谓的“奇异值”(singular values)。这在我有生之年变得至关重要。如果你的听众学过工程数学或更基础的线性代数，他们可能知道“特征值”(eigenvalues)。但特征值仅限于方阵，而数据通常是长方形矩阵。所以你必须迈出下一步。我总是在推动数学系的老师们：动手去做，去做奇异值分解！

奇异值提供了一种方法，来找到矩阵中重要的组成部分，这些部分加起来就是整个矩阵。所以你是在把一个矩阵分解成简单的片段。第一个片段是数据中最重要的一部分，第二个片段是第二重要的部分，以此类推。通常，数据科学家如果能找到前一两个片段，可能就会停在那里，因为数据的其余部分很可能只是舍入误差或者实验误差。所以你是在寻找最重要的部分。

Lex： 您觉得奇异值分解美在哪里？

Gilbert： 啊，我还没给出定理。奇异值的思想是这样的：任何矩阵，无论是长方形还是方阵，都可以写成三个非常简单、特殊的矩阵的乘积。这就是定理：任何矩阵 A 都可以写成 A=UΣVT，其中 U 是一个代表旋转（Rotation）的矩阵，Σ 是一个代表拉伸（Stretch）的矩阵（它是一个对角矩阵，除了主对角线外其他元素都是零），VT 是另一个代表旋转的矩阵。所以，旋转-拉伸-旋转，是任何矩阵的一种分解结构。

Lex： 这种结构，即任何矩阵都能如此分解的能力，其吸引力或美感体现在哪里？

Gilbert： 从几何上看，正如我坦率承认的，一个矩阵的作用不太容易可视化。但每个人都能想象旋转：拿一个二维空间绕中心转动；或者三维空间，飞行员必须知道偏航（yaw）等三个转动。即使到了十维空间，你也有十种转动方式，但你可以想象旋转：将空间转动。你也可以想象拉伸。所以，将一个包含所有那些数字的矩阵，分解成你可以可视化的东西——旋转、拉伸、旋转——这是相当巧妙的。非常有力。

IV. 数学的本质、学习与吸引力

主持人评论： 在 YouTube 上看各种视频，观察人们对什么内容产生共鸣、真正喜欢并受到启发时，数学似乎一次又一次地出现。我试图理解原因，也许您能提供一些线索。不仅仅是您授课的那种形式，还有像 Numberphile 这样的频道，他们只是聊一些极其复杂的东西，但人们仍然能与之建立联系。您认为这是为什么？

IV. 数学的本质、学习与吸引力

Gilbert： 这很奇妙，不是吗？我其实并没有完全意识到这一点。我们习惯性地认为数学很难、很抽象，只适合少数人。但事实并非如此，很多人相当喜欢数学。我收到很多人的信息，说他们退休了，打算学点数学。这真的令人鼓舞。

我认为人们喜欢的是数学中的某种秩序。很多秩序，或者说，事情虽然不明显，但它们是真的。所以，想到有这么多人真的想学习更多数学，这让人感到振奋。

Lex： 再谈谈真理，抱歉有时会滑入哲学。数学确实非常有力地揭示了哪些事物是“真”的。我的意思是，证明的全部意义就在于此。然而，我们的现实世界却是混乱和复杂的。您如何看待数学所揭示的真理的本质？因为它确实像您提到的那样，是一种慰藉的来源。

Gilbert： 哇哦。我得说，我不太算是个哲学家。我只是喜欢数字。你知道，这在你需要补牙之前就得想好。我当时就是想数学，比如想 2 的幂：2, 4, 8, 16... 一直想到牙不疼了，牙医说结束了。或者数数。所以，那几乎是一种平和的源泉。

Lex： 您认为数学的什么特质带来了这种平和感？那是什么？

Gilbert： 你知道自己身处何处。对称性，确定性。比如，你把 2 乘以自身 10 次，得到 1024，句号。每个人都会得到这个结果。

Lex： 您认为数学是一种强大的工具，还是一种艺术形式？

Gilbert： 两者都是。这确实是数学的妙处之一。你可以成为一个艺术家并且喜欢数学，也可以成为一个工程师并使用数学。

Lex： 您是哪种？您个人更倾向于哪个？

Gilbert： 我介于两者之间。我肯定不是艺术家或哲学家类型的人，虽然今天早上听起来可能有点像，但我不是。我真的很喜欢教工程师，因为他们追求答案。在 MIT 数学系内部，大多数人可能更喜欢教那些能理解抽象概念的学生。而我则很乐意教那些寻找方法来找到答案的工程师。

IV. 教学与学习 (Teaching and learning)

Lex： 这是一个有趣的问题。您认为对于教学，以及通常思考新概念而言，是代入数字更好，还是进行更抽象的思考更好？也就是说，是关注定理并证明它们，还是实际地建立对定理或方法的直觉，然后代入数字看它如何运作？

Gilbert： 当然，我们中的许多人喜欢先看例子。我们理解的可能是一个听起来相当抽象的例子，比如三维旋转。你将如何理解三维或十维的旋转？然后，我们中的一些人喜欢继续深入，直到得到具体的数字，比如 10 个角度、10 个轴。但最伟大的数学家，我不知道他们是否这样做，因为对他们来说，一个例子可能对我们其他人来说已经是高度抽象的东西了。但无论如何，在例子的空间内工作，例子似乎能构建我们大脑与之连接的结构。

Lex： 您通过这么多年教这么多学生数学，对学习过程本身有什么体会？

Gilbert： 喔，这很难。我得在这里承认，我可能不是一个真正意义上的“好”老师，因为我不怎么投入到考试环节。考试是我生活中不喜欢的部分，给它们评分，给学生 A 或 B 或其他什么。我做这些是因为我应该做，但我喜欢的是开始时的教学部分。那是激动人心的时刻，第一次告诉别人什么是矩阵，哇！

但我会在课程开始时告诉班级——我不知道他们是否相信我，可能不信——我告诉他们：“我在这里是为了教你们，教你们数学，而不是给你们评分。”但他们心里想的可能是：“好吧，这家伙什么时候……他会给我 A- 还是 B+？”

Lex： 关于学习的过程，您学到了什么？

Gilbert： 也许要给出一个关于学习的合理答案，我本应更关注最后的评估部分。但我喜欢开始时的教学部分。

Lex： 但是否有这样的时刻，当您在教授一个概念时，不需要看成绩，就能从学生的眼神中看到学习的火花？您看到他们被吸引住了，您知道自己与他们建立了联系，让他们爱上了这个美丽的世界？或者反过来，他们在那一刻放弃了，认为“数学太难了，我不擅长数学”？

Gilbert： 是的，看到它有某种美感... 是的。或者反过来，他们放弃了，认为自己不擅长数学。是的，也许是因为过去的方法让他们感到沮丧，但别灰心，数学太好了，不容错过。

如果我在教一个大班，我是否知道（他们是否理解了）？我想也许我知道。我一开始提到了四个基本子空间和线性代数基本定理的结构。线性代数基本定理就是这四个子空间的关系。我想我能感觉到，当班级想要看到它的时候，他们就理解了。

Lex： 对于今天刚开始数学之旅的学生，您有什么建议？他们该如何开始？

Gilbert： 哦，这很难。我希望你有一位仍然享受自己所做、所教内容的老师或教授，他们仍在寻找新的教学方式和理解数学的方式。因为乐趣在于你领悟的那个瞬间：“哦，原来是这样！” 所以，这关乎材料本身，也关乎教师的热情来源。更多的是关于乐趣，领悟的瞬间。

在主题方面，线性代数是我的领域。但几何学中也有很多美妙的东西去理解。最棒的是，最终你会发现模式，有规则可循，在生物学中如此，在每个领域都如此。

主持人提及 Strang 关于模仿的引述

Gilbert： 是的，模仿是百分之百美妙的……除了评分。评分很糟糕。

V. 线性代数、深度学习与数据科学

主持人： 华盛顿现在对人工智能有些担忧，关于未来。我认为其核心是数学。

Gilbert： 的确如此。是的。但也许它被隐藏了，戴着不同的帽子。嗯，人工智能，特别是，我可以用“深度学习”这个词吗？深度学习是理解数据的一种特定方法。你又有了大量的数据，数据正淹没着世界的计算机。要理解它，从所有这些数字中找出什么是重要的，无论是在气候领域还是其他任何领域。

人工智能是处理数据的一种方法的两个词。深度学习是其中一种具体的方法，它大量使用了线性代数。所以我开始研究它，我想，好吧，我必须了解这个。

Lex： 从您的角度来看，这是一个最基本的问题，您如何看待神经网络？它是什么？

Gilbert： 嗯，好的。

V. 深度学习 (Deep Learning)

我可以先从深度学习这个概念开始吗？什么是深度学习？

Lex： 当然，什么是深度学习？

Gilbert： 我们试图从所有这些数据中学习，试图学习什么是重要的，数据在告诉我们什么。所以，你有数据，有一些输入，你知道它们对应的正确输出。问题是，你能看到其中的模式吗？你能找出一个方法，对于一个我们没见过的新输入，去理解它的输出会是什么吗？

我们有百万个带有已知输出的输入数据，我们试图创建某种模式、某种规则，能够将这百万个训练输入（我们已知）映射到正确的百万个输出。而神经网络这个概念，是我们创建规则的新方法结构的一部分。我们正在寻找一个规则，能将这些训练输入映射到已知的输出，然后我们将使用这个规则来处理我们不知道输出的新输入，看看会得到什么。

线性代数是定义和寻找那个规则的重要组成部分。是的，线性代数是很大一部分，但不是全部。人们依赖矩阵，这很好。但线性（Linear）是特殊的，它只关乎直线和平坦的平面。而数据并不完全是那样的，它更复杂。所以你必须引入一些复杂性。你需要有一个不是直线的函数，不仅如此，它还是非线性的。

结果发现，使用一个由一段直线和另一段不同直线组成的函数就足够了，也就是分段线性 (piecewise linear)。一段有一个斜率，另一段有另一个斜率。引入这种简单的非线性，就打开了局面。那个小小的非线性部分，使其足够复杂以变得有趣，因为你会把它重复使用一百万次。所以，它的图形有一个“折叠”。但当你把东西折叠一百万次，你就得到了一个相当复杂的函数，非常接近现实。这就是神经网络的特点，它们有很多很多这样的单元。

Lex： 为什么您认为神经网络，通过构建一个非常…不是平面的目标函数，一个对输入到输出进行了大量折叠的函数，能够有效地找到一个我们不知道是否最优，但在很多情况下似乎相当不错的规则？您的直觉是什么？这对您来说是否像对许多人一样令人惊讶？您对它为什么能工作有直觉吗？

Gilbert： 我开始有了更好的直觉。这种分段线性的想法，即由平坦的部分组成，但它们之间有折叠，就像一个极其复杂的房子的屋顶，它几乎是弯曲的，但每一小块都是平的。工程师们一直在使用这个想法，现在也在大规模使用，比如在一种叫做“有限元方法”(finite element method) 的技术中。如果你想设计一座桥、一栋建筑、一架飞机，你就在使用这种分段平坦（piecewise flat）的思想，作为对现实的一个良好、简单、可计算的近似。

Lex： 您感觉这种分段线性组合起来具有很大的表达能力（expressive power）？

Gilbert： 是的，你用了正确的词。如果你衡量其表达能力，即这种分段平坦的东西能表达多复杂的事物，答案是非常复杂。

V. 深度学习的局限性 (Limits of Deep Learning)

Lex： 您认为这种分段线性或一般的神经网络，其表达能力的极限在哪里？

Gilbert： 不久前你可能会说，极限只是计算上的。问题规模超过一定程度，超级计算机也做不到。但计算能力确实在不断增强，所以这个极限已经被推后，允许越来越复杂的表面。

Lex： 就从输入到输出的映射而言，观察数据，您如何看待……在神经网络的背景下，通常数据就是张量、向量、矩阵。您如何看待从数据中学习？我们的世界有多少可以用这种方式表达？这个过程有多大用处？我想这是另一种问法，即这种方法的局限性是什么？

Gilbert： 这是个好问题。是的。我想深度学习的整个理念在于，数据中有东西可学。如果数据完全是随机的，由随机数生成器产生，那么我们将找不到有用的规则，因为根本就没有。拥有规则的极端情况就像知道牛顿定律：你击打一个球，它就会运动。这就是物理定律存在的地方，牛顿、爱因斯坦和其他伟人已经发现了那些定律。还有比如地下石油分布的规律，石油工程师理解石油如何在地下盆地中赋存。所以过去是有规则的。

现在，人工智能的新思想是去学习规则，而不是借助牛顿或爱因斯坦的帮助来找出规则，计算机在寻找规则。这是又一步。但如果根本没有规则可供计算机寻找，如果数据完全随机，那么你就一无所获，没有科学可以发现。这是自动化地搜索潜在规则。是的，搜索规则，没错。

当然，会有很多随机的部分。我不是在否定随机性，因为随机性是存在的，内置了很多随机性。但必须有一些基础的…几乎总是有某种信号，对吧？在大多数情况下。必须有一些信号。如果全是噪声，那你将一事无成。我们周围的这个世界似乎总是存在某种信号等待被发现。是的，没错。

VI. 个人视角与反思

吉尔伯特·斯特朗其人 (Who is Gilbert Strang)

Lex： 什么更让您兴奋，是理论，还是数学的应用？

Gilbert： 对我自己而言，我可能更偏向理论。我在这里很自由地谈论应用，但我不是一个真正……我不是物理学家、化学家或神经科学家。对我自己来说，我喜欢数学的结构，比如那些平坦的子空间，以及矩阵、列与行的关系。这是我在整个领域中的角色。

真正的科学是一个广阔的光谱，从提出实际问题并用一些数学来回答它们的人，到像我这样处于中间的数学家，再到数学、物理、化学等领域的天才，他们发现基本规律，真正地理解自然最底层、最简单的层面。

Lex： 从您的角度，能否粗略地谈谈线性代数在数学这个大学科中的位置？您认为与线性代数相关的各个子领域有哪些？

Gilbert： 好的。数学的主要领域包括代数作为一个整体，还有像微积分和微分方程这样的问题，这是第二个相当不同的领域。然后也许几何学应该作为一个独立的领域，去理解高维表面的几何。

我想，我可以在这里说这个吗？我觉得这是个人观点：我认为在思考本科数学，即数百万学生学习的内容时，我们过分强调了微积分，牺牲了代数，牺牲了线性代数。

Lex： 您是说微积分对决线性代数？而且您认为线性代数胜出？您能稍微深入探讨一下吗？为什么线性代数胜出？

Gilbert： 好的。听众可能会觉得这家伙有偏见。不是的，我只是在陈述事实。是的。我觉得线性代数是数学中一个很好的部分，人们可以理解它的思想，可以理解一些东西。它有点抽象，因为一旦你进入十维或百维空间。而且它非常非常有用。这就是在我有生之年发生的事情：数据的重要性日益增加，而数据确实以矩阵形式出现。所以它天生就适合代数，而不是微分方程。

现在让我公平地补充一下概率论。概率论和统计学的思想也变得非常非常重要，它们也向前迈进了一大步。这与线性代数不同，相当不同。所以现在对我来说，我们真的有三个主要领域：微积分、线性代数（矩阵）以及概率统计。它们都应该占有重要的地位。而传统上，微积分占据了绝大部分时间。是的，不成比例的份额，谢谢你用“不成比例”这个词，占据了那些兴奋的年轻头脑的爱与关注。

最喜欢的矩阵 (Favorite matrix)

Lex： 我知道这很难选，但您最喜欢的矩阵是什么？

Gilbert： 好的。我最喜欢的矩阵是方阵，我承认。它是一个方形的数字阵列。它的主对角线上是 2，紧邻主对角线的上方和下方（次对角线）是 −1。其他地方都是零。所以大部分是零，只有三条非零的对角线向下延伸。

即 K=(2−1−12−1⋱⋱⋱−12)

Lex： 它有趣在哪里？

Gilbert： 它以各种不同的方式出现。你在工程中看到它，在微积分中它类似于二阶导数。微积分学习求导数，计算某事物变化的速度。但二阶导数也很重要，它表示变化率的变化速度，图形弯曲的速度，曲线弯曲的速度。爱因斯坦表明这对于理解空间至关重要。所以二阶导数在微积分中应该有更大的地位。而我的这个矩阵，就像是二阶导数的线性代数版本，在线性代数中非常简洁，用它们处理问题，一切结果都恰到好处，很优美。

数学与社会 (Math in Washington)

主持人： 您可能熟悉，Andrew Yang 是目前正在竞选的总统候选人，他的帽子上印着全大写的 MATH，代表“让美国努力思考”（Make America Think Harder）。

Gilbert： 好，我会投票给他。

主持人： 他的名字和您的押韵，Yang 和 Strang。他也热爱数学，来自那个世界。但看到他也让我意识到，数学、科学和工程似乎并未真正成为我们政治的一部分，不是政治话语或政府的普遍组成部分。您认为这是为什么？您对此有何看法？

Gilbert： 当然，在这个体系的某个地方，我们需要那些对数字和数量感到自在的人。如果你说“这会导致那”，他们能看到，这是不可否认的。

Lex： 但您不觉得奇怪吗？我们几乎没有——我很确定我们没有——国会或显然总统职位上的民选官员拥有工程学或数学学位。

Gilbert： 是的，这太糟糕了。少数几个能够建立联系的人……他们必须是既懂工程或科学，又能发表演讲、领导和激励他人的人。

Lex： 说到启发，您曾担任工业与应用数学学会 (SIAM) 的主席，这是一个重要的数学组织。您认为该学会在我们的公共话语中扮演着怎样的角色？

Gilbert： 是的。嗯，在 2000 年前后担任主席那几年很有趣。那是一个相当小的学会，但当时数学在华盛顿正获得更多关注。是的，我有机会在众议院的一个委员会面前做了大约 10 分钟的发言，谈论为什么数学重要。实际上那次很有趣，因为其中一位众议院议员曾经是我的学生。

Lex： 您觉得怎么样？

Gilbert： 正如你所说，这种情况相当罕见。大多数众议院议员有不同的训练和背景。但有一位来自新罕布什尔州的议员，因为上过我的课，真的成了我的朋友。所以那些年挺好的。当然，后来其他事情在华盛顿占据了更重要的位置，数学在目前就不那么显眼了。但曾有那么一小段时间，它在那里引起了一些兴奋。

VII. 结论 (Conclusion)

Lex： 回顾您的人生，哪些记忆带给您最多的快乐和自豪感？

Gilbert： 这是个好问题。当然，当我在教 18.06 课程时，感觉很好。那是 MIT 的线性代数课程，是我开设的。所以有一种满足感，觉得“好吧，我开设了这门课，很多学生选修，不少人喜欢它。”是的，所以当我感觉自己正在帮助连接思想与学生，连接理论与读者时，我感到很开心。

我收到了很多看过视频的人发来的非常友好的信息，这很鼓舞人心。也许借此机会说声谢谢。

主持人： 您教过数百万学生，我很荣幸曾是其中一员。Gilbert 教授，非常感谢您。与您交谈是我的荣幸。

Gilbert： 很高兴与你交谈，谢谢。

访谈要点总结

I. Gilbert Strang 与 MIT OpenCourseWare 的影响力

II. MIT OpenCourseWare 的起源与理念

III. 线性代数的核心与魅力

IV. 数学的本质、学习与吸引力

V. 线性代数、深度学习与数据科学

VI. 个人视角与反思