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「人物志」约翰·纳什的非凡定理

约翰·纳什的非凡定理

摘要

本篇讲稿实录了菲尔兹奖得主塞德里克·维拉尼（Cédric Villani）关于约翰·纳什非凡数学成就的演讲。公众视野中的纳什，常与诺贝尔经济学奖、电影《美丽心灵》及其与精神疾病斗争的经历相联系。然而，维拉尼引导我们超越这些广为人知的标签，深入探索纳什作为一位杰出数学家的核心贡献——那些似乎“凭空出世”且极具革命性的工作，尤其是在博弈论之外的几何分析和偏微分方程领域。

讲座首先回顾了纳什早年解决等距嵌入定理的历程，阐述了该问题在几何学中的重要性，区分了内在几何与嵌入几何的概念，并展示了纳什如何通过强大的分析技巧，证明了即使是抽象的几何空间也能在欧氏空间中实现，区分了光滑与非光滑嵌入的微妙之处。随后，讲座聚焦于纳什在偏微分方程正则性理论上的另一项重大突破，特别是他为解决热方程解的连续性问题所发展的创新方法，包括引入熵概念和微分不等式。

维拉尼不仅介绍了这些深刻的数学内容，还结合了纳什研究过程中的轶事、与同行的互动、论文的风格特点，以及其工作遭遇同期发现和个人生活悲剧（包括获得阿贝尔奖后的不幸离世）的背景。对于希望理解约翰·纳什在纯粹数学领域超越博弈论的非凡建树及其深远影响的读者，这篇演讲实录提供了一个来自顶尖数学家视角的、内容丰富且相对平实的解读入口。

内容纲要

├── 引言
│   ├── 介绍约翰·纳什的特殊与非凡
│   ├── 提及纳什的公众形象（诺奖、电影、精神疾病）与悲剧性结局（阿贝尔奖后去世）
│   └── 点明讲座重点：聚焦纳什在博弈论之外的革命性数学贡献（几何分析）
├── 纳什早期的数学成就：等距嵌入定理
│   ├── 背景：年轻纳什的才华与传奇，尼伦伯格的期待
│   ├── 动机：几何学的不同视角（平面 vs 球面）及其困境
│   │   ├── 地图绘制的失真问题
│   │   └── Qibla方向等内在几何与嵌入几何的矛盾
│   ├── 挑战：非欧几何（双曲几何）的嵌入问题与黎曼的内在几何观点
│   └── 纳什的突破：受同事挑战，解决长期悬而未决的等距嵌入问题
├── 纳什嵌入定理的细节与影响
│   ├── 证明方法：具体的分析手段，而非抽象推理
│   ├── 对“正则性”（光滑度）的关注：区分光滑与非光滑嵌入
│   ├── 非光滑嵌入 (C1)
│   │   ├── 惊人的结论：可“压皱”球体而不改内在几何
│   │   └── 平坦环面的分形嵌入实例
│   ├── 光滑嵌入 (Ck/C∞)
│   │   ├── 解决极难的PDE系统
│   │   └── 证明任何黎曼流形可在足够高维空间中光滑嵌入
│   ├── 意义：统一内在几何与嵌入几何观点，展现纳什对正则性的精通
├── 纳什的另一重大贡献：偏微分方程（PDE）的正则性理论
│   ├── 背景：尼伦伯格因嵌入定理的成就向纳什提出PDE正则性问题
│   ├── PDE的重要性：描述自然现象（温度、流体、量子力学等）
│   ├── 以热方程为例：介绍基本概念（导数、传导率）与正则化效应
│   ├── 核心问题：系数不连续（混合材料）的热方程解是否一定变光滑（连续）？
│   ├── 纳什的解法
│   │   ├── 组织协调多位专家，整合资源
│   │   └── 引入创新概念：统计力学类比（熵、热原子），运用微分不等式
│   └── 成果：六个月解决问题，论文《抛物型和椭圆型方程解的连续性》
├── 同期发现与后续
│   ├── 独立发现：德乔吉（De Giorgi）同时用不同方法证明了相同结果
│   ├── 纳什的反应：失望，认为影响菲尔兹奖，撤回顶级期刊论文
│   └── 精神疾病：偏执妄想的开始与长期的困扰
├── 晚年认可与结局
│   ├── 诺贝尔经济学奖：因早期博弈论（纳什均衡）工作获奖
│   ├── 电影《美丽心灵》：普及知名度，但内容多有不实
│   ├── 数学界认可回归：嵌入思想启发后续研究（De Lellis/Szekelyhidi）
│   ├── 阿贝尔奖：终因几何分析与PDE工作获奖（与尼伦伯格分享）
│   └── 悲剧性去世：领奖回国途中遭遇车祸
└── 结论与传承
    ├── 纳什的数学遗产：思想与技术（熵、正则性）的持续影响
    ├── 演讲者维拉尼的个人联系：纳什工作对其研究的启发
    ├── 纳什的风格：强大的分析攻击、整合不同领域思想
    └── 结语与文献推荐

讲座要点

  1. 引言: 介绍约翰·纳什的特殊性、悲剧性结局（获阿贝尔奖后去世）以及他作为天才、诺贝尔奖得主和电影主角的公众形象，并点明演讲重点是其革命性的、鲜为人知的数学贡献（博弈论之外的几何分析）。
  2. 纳什早期的数学成就：等距嵌入定理
    • 背景：纳什年轻时已显露才华，被尼伦伯格寄予厚望。
    • 动机：几何学的不同视角（平面地图 vs 球面地球），内在几何 vs 嵌入几何的困境（如Qibla方向问题、地图扭曲）。
    • 挑战：非欧几何（双曲几何）能否嵌入欧氏空间？黎曼的内在几何观点。
    • 纳什的突破：受同事挑战，解决了长期存在的等距嵌入问题。
  3. 纳什嵌入定理的细节与影响
    • 方法：使用具体的分析（而非抽象推理），关注解的“正则性”（光滑度）。
    • 非光滑嵌入：证明了令人惊讶的结果（如可“压皱”球体而不改变其内在几何，构造平坦环面的C1分形嵌入）。
    • 光滑嵌入：解决了极难的偏微分方程组，证明任何抽象黎曼流形都可光滑嵌入足够高维的欧氏空间，统一了内在几何与嵌入几何。
    • 意义：展现了纳什对正则性无人能及的掌控力。
  4. 纳什的另一重大贡献：偏微分方程（PDE）的正则性理论
    • 背景：尼伦伯格因纳什在嵌入问题上的成就，向他提出了PDE正则性问题。
    • PDE的重要性：描述了自然界（温度、流体、量子力学等）的众多现象。以热方程为例。
    • 核心问题：对于系数不连续（如混合材料）的热方程，其解是否一定会变得光滑（连续）？
    • 纳什的解法：组织协调多位专家，引入物理/统计力学概念（熵、热原子类比），利用微分不等式，在6个月内解决。
  5. 同期发现与后续
    • 独立发现：意大利数学家德乔吉（De Giorgi）几乎同时用不同方法证明了相同结果。
    • 纳什的反应：失望，认为影响了自己获得菲尔兹奖，撤回顶级期刊论文。
    • 精神疾病：随后出现严重精神问题，长期受困扰。
  6. 晚年认可与结局
    • 诺贝尔经济学奖：因其博士论文中的博弈论工作（纳什均衡）获奖。
    • 电影《美丽心灵》：普及了纳什的名字，但内容多有不实。
    • 数学界认可回归：纳什的嵌入思想启发了现代数学研究（如De Lellis/Szekelyhidi对欧拉方程的研究）。
    • 阿贝尔奖：最终因其在几何分析和PDE方面的工作获奖（与尼伦伯格分享）。
    • 悲剧性去世：从奥斯陆领奖回来后遭遇车祸去世。
  7. 结论与传承
    • 纳什的遗产：其思想和技术（如熵的应用、对正则性的关注）持续影响数学界。
    • 维拉尼的个人联系：演讲者维拉尼阐述了纳什工作对其研究的影响。
    • 纳什的风格：善于用强大的分析工具解决问题，并连接不同领域的思想。

核心要点：

讲座实录

引言

约翰·纳什是一个非常奇特的人——一个非凡的人。本次演讲的目的就是向这位伟人致以应有的敬意。并回顾，正如这个标题所暗示的，他所做的事情是惊人的，或者用伟大的几何学家米沙·格罗莫夫（Mischa Gromov）在谈到纳什的一项成就时的话来说：“这不可能是真的，但它却是真的。” 让我们解释一下格罗莫夫这句话的意思。

这里是约翰·福布斯·纳什的简短生平。他出生在弗吉尼亚州，起初内心是个工程师，学习化学，但最终转向了数学。1948年，他成为普林斯顿大学的学生。1949年到1950年，他完成了博士论文答辩，其中特别包括了著名的纳什均衡理论。那是一篇只有两页的论文。从1951年到1958年，他在麻省理工学院（MIT）、纽约的库朗研究所和普林斯顿大学，开启了他世界一流的数学家生涯。然后，他证明了一些在分析学家和几何学家中极其著名的定理——关于嵌入和连续性。1959年，历史——一段关于急性偏执型精神分裂症的悲伤历史。大约在1990年，疾病开始自发地、逐渐地好转。1994年，获得诺贝尔经济学奖，当时他住在普林斯顿。这张幻灯片是我几年前第一次做关于纳什的讲座时写的。稍后，在演讲的最后，我会更新这部分内容。

这里有一个悖论。也许纳什声誉的95%（我知道这是主观衡量）是来自于博弈论和他关于所谓的“纳什均衡”的工作——这在经济学和生物学中都很有名。但这难道不是，用他自己的话来说，他“最微不足道”的成就吗？难道纳什不应被视为本世纪最伟大的分析学家之一吗？正如格罗莫夫所说，他结合了极强的分析能力和几何直觉。今晚的目标是聚焦于那个较少人知的故事——比博弈论部分更少人知——去探究，一个数学成果的价值何在，并深入了解一篇著名且充满戏剧性的数学研究论文的幕后故事。

让我们回到60年前，年轻的纳什来到库朗研究所的那一刻。他28岁，是个，你知道，体格强壮的家伙。他抵达纽约。在纽约，他来到了这个著名的——当时已经很有名——从事高等，嗯——某种意义上的“骄傲”数学研究的机构——库朗研究所，一个在二战后声名鹊起、并成为世界数学史一部分的地方。当他到达库朗研究所时，他虽然年轻，但他的传奇已经先于他到达。路易·尼伦伯格（Louis Nirenberg），库朗研究所最重要的人物之一，为他准备了一个问题。嘿，年轻的纳什要来了。我知道我要问他什么。是什么让纳什早已声名远扬呢？让我们稍微回溯一下，谈谈那个。

纳什早期的数学成就：等距嵌入定理

让纳什成名的是所谓的“等距嵌入定理”。为了引出这个话题，我们得说，几何学可以有几种做法。从历史上看，几何学是测量地球或绘制世界地图。说到“世界地图”，我们想到的是二维的东西。你知道，在一张纸上，让我们画出大陆的形状、河流等等。但是，正如我们所理解的，正如古希腊人已经理解的那样，地球不是平的。地球是球形的。而且，正如太空探索时代——你知道，60年代——首次观察到的那样，地球确实是圆的。

在某种程度上，第二种观点（球面）更简单。平面视图更复杂。为什么更复杂？嗯，当你想在平面上表示世界时，你会遇到各种各样的问题和悖论。形状和面积的问题。如果你看通常的世界地图，在一个矩形里，比如，南极洲看起来巨大无比！而非洲中部的国家，它们看起来很小，而实际上它们很大，南极洲并没有那么大。这是由于平面表示造成的失真。

还有其他有趣的问题。这是一张我几年前在巴勒斯坦一家酒店拍的照片。对于那些在世界上某些以伊斯兰教为主导地区旅行过的人来说，当你到达酒店时，总会看到这个。一个朝拜方向（qibla）。那是一个指向麦加方向的箭头。因为，如果你是一个虔诚的穆斯林，那就是你应该朝拜的方向。

现在，我的朋友们，这“麦加的方向”意味着什么？从这里看，还好。东南方向。但如果你在世界的任何地方，答案就没那么好，没那么容易了。如果你在北极，那“麦加的方向”意味着什么？这确实曾是个问题。这是阿拉伯世界几何学发展的动机之一——在那个时代，欧洲数学家与阿拉伯和波斯数学家相比，完全是业余水平。例如，这里有一个问题，当清真寺开始在美国建造时，这确实成了一个问题。从纽约看，哪个方向是麦加？

如果你把地球想象成一个球体，答案很简单。把它放在你的地球仪上。假设你拿一根有弹性的绳子，一端放在麦加，另一端放在纽约，然后看看绳子的轨迹。但如果你在平面地图上看，这一点也不明显。答案是，如果你在纽约，想朝着麦加的方向，你必须面向，某种程度上说，东北方向。这是一些人永远无法理解的事情。实际上，围绕这件事还发生过一些涉及大使馆的事件，你知道，有人说，你疯了。把它指向南方，因为那是南方——不，不，不！但那是测地线——是最短路径——等等。我不明白你的东西。它是南方——它应该是南方——随便吧。现在你知道了，随着航空业的发展，这很明显。你看看从巴黎到纽约的航线。必须是这样走，你知道吗？这是一条弯曲的轨迹。我们知道这是最好的方式。它看起来像一条曲线，在平面上、在二维空间中看起来像一条不经济的路径。但如果你把它看作是在球体上，这就说得通了。很明显就该是这样。

所以，球面几何，在某种意义上，因此比平面几何更简单。另一方面，平面几何更经济，因为它只需要两个维度。而球面几何，你需要三个维度来把你的球体放入我们的空间，也就是三维空间。所以看起来球体需要更多的信息。

这就是你面临的那种两难境地。要么研究一种简单的几何，但需要“许多”维度——在这里，“许多”是三维；要么研究一种复杂的几何，但需要“很少”的维度——在这里，“很少”是二维。这是一个可能比这复杂得多的问题，但这就是这个问题的本质，几何学家称之为“嵌入”。嵌入就像球面的表示，因为我们认为球体是三维空间的一部分，是嵌入到三维空间中的。相反，平面的表示，几何学家会称之为“内在的”，因为它只使用了球体表面本身固有的两个维度。所以，内在的，或嵌入的。

几何学是什么？它应该是内在的，还是应该是嵌入的？这让我们回到我们想在几何学中做什么的问题上。起初，几何学的发展，你知道，随着古希腊人发展为欧几里得几何，绘制那些你可以在沙滩上、纸上、平坦的石头上或其他任何地方画出的图形。但后来人们明白了，当你长途旅行等等时，你需要理解球面几何。然后有些人说，毕竟，你可以在任何表面上做几何，不一定非得是球面。可能是一些奇怪的东西。然后人们说，让我们研究所有可能的几何形状，并设计一个能够涵盖所有这些形状的理论。而且，让我们也尝试做一些能够承受变形的事情，一些尽可能内在的东西。

你知道，如果你拿一张纸，在你的纸上画画——这是我的纸。我在上面画了一些东西。如果我弯曲这张纸，从嵌入的角度来看，它会非常不同，但这里的图形将保持不变。所以，如果我从内在的角度看它，它应该是同一个对象。当几何学开始以内在的方式思考时，即使对于弯曲的几何形状，也取得了巨大的进步。

这与19世纪非欧几里得几何的发展有关，特别是所谓的双曲几何，它是由高斯和罗巴切夫斯基等人设计的。双曲几何，像欧几里得几何一样，是一种所有点都等价的几何。没有特权点。球体也是这样一种几何，你知道吗？在球体上，从任何一点看，球体看起来都完全一样。具有这种看起来处处相同的性质的几何形状非常少。双曲几何就是这样一种。但它在某种程度上是球体的反面。球体总是正曲率的，而双曲平面总是负曲率的。

它有一些奇怪的性质。这里有一张双曲平面中的图片示例，这些线都是测地线，意思是“最短路径”。我们让它旋转，就像我们在平面上通过旋转来旋转一个图形一样。看看它看起来多么不寻常。这是著名的艺术家M.C.埃舍尔对双曲几何的著名演绎。你看，双曲几何是一种在平面表示中，长度单位会因位置而改变的几何。我告诉过你，内在上每个点都是相同的。但是当我们在平面上表示它时，我们被迫让它的尺寸随位置变化，因此，在这幅画中，每条鱼都与其他任何鱼具有相同的长度。这就是双曲几何。

你可能会问，好吧，但是现在，我能否以一种距离不被扭曲的方式来表示这种双曲几何，就像我在球体上做的那样？我能否将这种双曲几何嵌入到我们的三维空间中？这是一个早在19世纪初就困扰着高斯的问题。他想，嗯，这里有问题。有问题。当高斯的学生黎曼说，让我们别担心它是否可嵌入，让我们继续研究内在性质时，这是一个巨大的进步。我们将从中取得进展。他定义了所谓的曲率，直到今天，它仍然是几何学家用来研究非欧几里得几何的最重要的工具——黎曼曲率。没有黎曼曲率，广义相对论就永远不会存在，我们今天在图像处理中看到的巨量内容也无法存在。黎曼建立的公理，我们至今仍在使用，用来描述非欧几里得几何——黎曼流形的概念，这是一种几何，其中每个点都在一个类似于扭曲了的欧几里得空间的邻域内。

这是一项了不起的成就，你从中可以说，让我们忘记它是否可以被嵌入。这样我们就可以处理更一般的情况。好的。看起来更一般了。它真的（比嵌入几何）更一般吗？真的吗？嗯！例如，人们能嵌入双曲空间吗？我们能否为我展示的几何图形找到一个在我们的三维空间中没有扭曲的表示？答案是，不能。我们可以有近似。我们可以有一些带有某种所谓的奇点（singularities）的部分几何图形，就像这些表示上的尖峰一样。右上角的这个叫做“伪球面”。它下面的叫做库恩斯曲面（Coons surface）。左下角的叫做“双曲钩针编织品”。 我这里有一个。递给你们吧。你们可以一个接一个地传下去，好吗？ 那是一个双曲钩针编织品。你可以扭曲它等等，并思考这样一个事实：它的每一点都具有与其他点相同的几何性质。而且他们应该尝试继续这样编织下去。有关于这个的编织方法。你可以在网上找到，如何制作双曲钩针编织品。如果你试图做一个非常大的，你会失败。这样的编织品，这样的钩针制品，必须是相当有限的。20世纪一些著名的数学家证明了这一点。例如，希尔伯特证明了不可能有一个非常大的双曲钩针编织品。

所以，好吧，这看起来像是，是的，嵌入几何是受限制的。有些几何形状，比如双曲空间，我们无法嵌入。不，不，不。数学家会告诉你，好吧，我们不能把它嵌入到我们的三维空间中。但谁说我们需要三维呢？让我们梦想一下！让我们把它嵌入到一个四维空间，也许，或者五维，或者六维——随便什么维度。布拉努沙（Blanuša）证明了你可以将无限大的双曲几何嵌入到一个六维空间中。所以，最终，它仍然是嵌入几何，完全一样。但我们只是需要拓宽视野。现在你可能会问，对于任何几何都是这样吗？

规则是这样的。我给你一个抽象的几何——例如，一个抽象的曲面。你能找到一个欧几里得空间，一个平直的空间，但可能有10维、20维或100维，我可以在其中嵌入我的几何形状，使得它成为那个几何体的一部分，就像球体是三维几何体的一部分一样。这是一个自黎曼时代以来一直悬而未决的问题。一个古老而受人尊敬的问题。

纳什嵌入定理的细节与影响

现在，让我们回到纳什。你必须明白，纳什年轻时并不怎么谦虚。 纳什相当，你知道，令人讨厌。当他到达麻省理工学院时，他的一个同事，安布罗斯（Ambrose）——一个相当不错的数学家——对纳什的傲慢感到非常恼火——比如，你知道，“我是个天才。我是这里最棒的。好吧，维纳（Wiener）不错，但我觉得我更胜一筹。”等等。有一次他非常生气，就对他说，好吧，如果你那么厉害，为什么不去解决等距嵌入问题呢？纳什的反应是，什么？这个嵌入问题是什么？这是关于什么的？纳什像是，兴奋不已。哦，这是个难题吗？也许我可以通过解决它而出名。好的。于是他去核实，你知道，问别人这是否真的是一个能让他出名的问题。 开始研究它。花了两年多的时间。哇，他说，我会解决它，我会解决它，等等。这是我的想法，这是这个，等等。 安布罗斯嘲笑他。我们有一封安布罗斯的信，他在信中对他的一个同事说，嗯，有纳什。“我们把他弄来了，也省得我们可能招来一个真正的数学家。他是个聪明的家伙，但自负得要命，像维纳一样幼稚，像X一样急躁，像Y一样桀骜不驯，对于任意的X和Y。” 这是数学家的幽默，你知道吗？ 好的。

但现在的问题是，纳什确实解决了这个问题。不仅仅是一个证明，而是两个惊人的证明——他从中得到了两个惊人的定理。非光滑嵌入，光滑嵌入。人们甚至没有意识到非光滑嵌入在这里有什么意义。他两者都证明了。

让我稍微解释一下这是怎么回事。第一个令人惊讶的地方是证明方法。这是一个抽象的几何问题，你看——一个普遍的问题。当你有一个普遍的问题时，在数学中，很自然地会认为它将通过普遍的推理来解决。抽象的问题将通过抽象的证明来解决。完全不是。他通过具体的分析解决了它，亲自动手进行大量的计算。我们稍后会回到这一点。这有点像预示了50年后同样的惊奇，当时俄罗斯天才格里戈里·佩雷尔曼（Grigori Perelman）解决了最著名的庞加莱猜想，关于三维宇宙所有可能的形状——一个非常普遍的问题——通过一些非常动手实践和技术性的计算与推理。

对于纳什的证明，格罗莫夫说，这是“最早使黎曼几何变得简单的著作之一——对如何思考流形的一种令人难以置信的态度转变。你可以用你的双手来操纵它们。”

这引出了一个问题，什么是分析学家？我们问过，什么是几何学？现在，什么是分析学家？什么是分析学？你知道，数学家不是单一物种。有好几个。有好几个亚种和亚亚种等等。分析学可以比作精美的烹饪。顺便说一句，在日语里是同一个词。它需要精细调整，精确控制。分析学家以使用简单而强大的工具进行有力而锐利的攻击而自豪。我们喜欢非常详细地研究函数——信号——通常是未知的，因为它们是问题的解。他们会问它们变化多快？是小幅变化，快速变化，还是大幅变化？就像股票交易，它会波动很大吗，等等？诸如此类。

这里是一些函数的例子。有些是光滑的——缓慢变化的。另一些是狂野的，等等。分析学家一生都在研究这些。嗯，分析学的第一个主要工具是导数——微分。这是变化的峰值。这是斜率。其著名的发明者是牛顿和莱布尼茨，他们都是天才，并且卷入了一场可怕的争斗，在某种意义上，这是数学界的耻辱。但他们所做的是辉煌的。你知道，看那边的这个图。如果我画出图的切线，也就是接触图形的线，然后我看这条线的斜率，它会立即告诉我变化情况——是快速增长，还是减少，等等。当我有了这个斜率，对于变量的任何值，我可以绘制出斜率的值，然后看斜率的斜率。也就是变化的化，二阶导数，等等。我可以继续下去。对这些连续导数的研究，给了我关于这些函数变化方式的强有力信息。这就是人们所说的“正则性”。

导数很容易理解。你知道，1%的利率——我们很容易理解这个。二阶导数，就不那么容易了。从三阶导数开始，就真的很难理解了。嗯，实际上，在政治演讲中有一个著名的三阶导数的例子。那是尼克松，1972年，当他公开宣布通货膨胀增长率已经开始下降时。 正如你可能猜到的，这并非什么好消息。你知道吗？而且，正如你所见，这是一种以无人能懂的方式说明情况正在改善的好方法。 但对于分析学家来说，没问题。我们习惯了这个。我们使用任意阶数的导数——或者维度，就此而言。即使是分数阶导数也没问题。导数的阶数越多，函数就越光滑。这是我们的日常面包，它可以改变一个问题的结论。例如，如果你正在研究一个关于流体力学的问题，无论你是在寻找光滑解还是非光滑解，它不仅会改变数学上的攻击方法，还会改变问题的物理结论，等等。

作为一个真正的分析学家，纳什揭示了，在那个几何问题中，正则性非常重要。而且，根据你是在寻找光滑嵌入还是非光滑嵌入，答案可能完全不同。几何学家对此毫无概念。

证明是令人难以置信的。例如，为了构造他的非光滑嵌入，纳什首先大幅度地缩短距离，你知道，以一种肯定不是嵌入的方式，然后通过某种渐进的过程，通过螺旋方式，逐渐将它们增加回来。看起来像个疯狂的想法。而对于光滑嵌入，他攻击了一个极其困难的方程组——解在某种意义上会损失导数。这可能对你来说没什么意义，除了它被认为是一场噩梦。他明白你可以通过一种牛顿为非常快速地解方程而设计的数值方法来对抗这场噩梦。在一个问题中，是正则性问题。在另一个问题中，更像是一个数值问题——寻找解。但他明白他可以将两者互相利用。没有人对此有任何线索。

这些方法是开创性的。他引入的工具催生了新的、强大的理论，这些理论后来会在数学课堂上被教授。甚至无需提及它们最初是为了解决的几何问题。这不仅仅是解决问题，而且是找到了解决这些问题的新技术。结论是强大而惊人的。

这是格罗莫夫提到的“不可能”的事情之一。你可以把一个球体压皱，而不改变它的几何结构——它的内在几何结构——也不会产生凹凸，你知道吗？不像拿个锤子敲——梆、梆、梆、梆。不会有凹凸——但它仍然会被压皱。这与我们的经验相矛盾。我们在某种意义上知道球体是刚性的。但这种变换违背了经验，因为它几乎不光滑。它看起来是这样的。这就是纳什——或者更确切地说，这是几年前里昂的一个数学家团队所展示的纳什证明存在的东西——一种嵌入平坦环面的方式。

什么是平坦环面？这是一种几何形状，对于某个年龄段、曾经玩过吃豆人（Pac-Man）的人来说很熟悉。 你知道吃豆人——它像一个正方形，里面有一些迷宫什么的，还有你的吃豆人，你的小东西。它走啊走——当它从某个方向出去时，它会从另一边回来，你知道。当它往这个方向走，越过顶部时，它会从底部回来。这在数学家那里被称为“平坦环面”几何，一种你将左边和右边、上边和下边等同起来的几何。

那种几何形状，如果你试着在一张纸上做出来——嗯哼，好的——让我们把这边和这边等同起来。容易。我这样做。好的。我把这个粘起来。确实，如果我的小家伙走到那边，它会从另一边进来，等等。但现在你试着把这边粘到那边。嗯哼！ 行不通。你可以证明它行不通。嗯，纳什，我的朋友，如果你追求光滑嵌入，那它行不通。但如果你用一种聪明的方式来做，而这就是那种聪明的方式，它就行得通。所以这个东西，现在被称为“光滑分形”，看起来像这样。你看它有微小的结构和微观结构以及微观的微观结构等等。但它仍然不像分形那样不规则。它上面的每一点都有导数。而且它是平坦的。如果你是一个微小、微小的、微观的生物，生活在这个表面上，你将无法区分——你不会感觉到它是弯曲的。对你来说，它将是完全平坦的。

几何学家花了很多年才消化了纳什的这些新东西。然后，两年后，伟大的嵌入定理问世了。如果你拿一个抽象的几何体，你可以用一种非常光滑的方式嵌入它，比刚才那个光滑得多，但前提是你提供足够的维度。在刚才那个例子中，你只需要三个维度。如果你想让它光滑，你不能在三维空间中做到，但你可以在足够高数量的维度中做到。这是一个伟大的成就。它解决了一个大约80年前被提出的问题——高斯的嵌入观点和黎曼的内在观点是否实际上是等价的。答案是？它们是等价的。

那很好。那很好，并且作为结果，纳什证明了他比任何人都更精通正则性。这就是为什么路易·尼伦伯格看到纳什到达库朗研究所时，心想，这家伙就是解决我问题的人。

纳什的另一重大贡献：偏微分方程（PDE）的正则性理论

那是一个关于正则性的问题——偏微分方程的正则性问题。什么是偏微分方程？偏微分方程是关于导数——切线——的方程。但是你知道，在现实生活中，一个函数并不只依赖于一个变量。它依赖于许多变量。以温度为例。如果你对气象学感兴趣，温度取决于时间——你知道，今天早上很冷，现在好多了，等等。它取决于纬度、经度和海拔高度。它取决于四个参数。所以你可以计算关于这些参数中任何一个的导数。是每分钟变暖，还是每分钟变冷？当我往南走时，是变暖吗——等等。偏导数捕捉了这些，这些相对于参数的趋势。

这是人们从18世纪开始的一大发现，几乎你能想到的任何现象最终都可以用这些偏微分方程来建模——与函数的趋势相关。例如，这个房间里的温度是一个偏微分方程问题。我们大脑中的电势？这是一个偏微分方程问题。随便什么。你知道吗？控制、理解流体的运动？是偏微分方程，等等。

这里是一些最著名的偏微分方程。我不是想让你们理解它们，但首先你们可以欣赏它们有多美。 这个是玻尔兹曼方程。天哪——我花了十年生命研究这个！ 它描述了气体的演化。最初由詹姆斯·克拉克·麦克斯韦和路德维希·玻尔兹曼设计，改变了理论物理学的面貌。这个是弗拉索夫方程。告诉我们关于星系的演化，例如，数十亿年的演化。这个，相反，是如此之小。薛定谔方程，量子力学的基础。这个，实际上，当你去巴黎时，你可以参观一个刻有它的公共场所。它在巴黎地铁里。在Chatelet-Les Halles站的那个雕塑——我喜欢它，因为每天可能有数十万人从它旁边经过，却完全没有注意到那里有薛定谔方程。 你知道吗？就像一个隐喻，我们周围环绕着这些奇妙的方程，而我们却对此毫无察觉。

这里还有另外几个。这些是流体力学的方程。欧拉方程，纳维-斯托克斯方程。它们改变了我们技术中的一切，或者说很多东西。它们每天都被求解用来预测天气。它们被好莱坞产业大量使用，用来在电影院里制作各种特效。去看《泰坦尼克号》或者别的什么——里面充满了这些流体力学偏微分方程的解。好的。

这里是另一个，由另一位数学天才艾伦·图灵解决，用来理解动物皮肤上图案形成的问题。这里还有另一个，由约瑟夫·傅里叶在19世纪使用，用来理解温度的演化——比如，在一块铁块中。就是这个。热方程。这是一个非常著名的偏微分方程，当你学习偏微分方程课程时，这是你首先学习的方程之一。它是关于一块导热金属中的温度。左边是时间导数——温度相对于时间的趋势。是变暖还是变冷？右边是空间导数——实际上是两个空间导数。趋势的趋势，相对于空间变量。还有一个系数。它是传导率。或者，更严谨地说，是热扩散系数。它们互相关联。因为，你知道，有些材料——在某些材料中，热量容易传递，在另一些材料中则难以传递。好的。

当你有一个随位置变化的传导率时——比如说，在两种金属的混合物中——热量的分布会变得相当复杂。方程比解更复杂，不过。那时你无法精确计算它，但你可以研究它。让我给你们看一些例子。

这是一个例子，你有一个金属棒中的热量分布——热、冷、热、冷。你看这是x。这就像是到原点的距离。最初你加热一些地方，然后看它随时间如何演变。你让它冷却下来。仔细看。这是温度随时间的变化。开始时，我有几个峰。现在我只有一个了。它变得有点无聊了，因为开始时的演变非常快，而现在非常慢。这是我们学习热方程时首先学到的东西之一。开始快，然后变慢。

我们学到的另一件事是，即使整体上在冷却，有些地方在冷却——另一些地方最初却不是。看看这个热点和这个冷点。仅仅片刻之后，热点变得更冷，但冷点变得更暖——直到达到某种平衡，然后它们开始下降。好的。

我们在这些课程中学到的另一件事是，热方程使事物正则化。它让你更光滑。看这里。它光滑吗？嗯，不太光滑。你看到这些剧烈的变化，斜率的狂野变化——完全改变了。但是看看几分之一秒之后。它变得光滑了。你知道，就像山被侵蚀一样，热方程对数据进行了某种侵蚀。这就是热方程的正则化效应。

好的。这里的这个模拟是针对一个常数——均匀的金属棒。现在让我们看另一个，它将是各种金属的混合物。并且让我们也从一个疯狂的初始温度数据开始——你知道，热、冷、热、冷——完全疯狂。看看几秒钟后会发生什么。啊，不那么光滑，但好一些了。而且，你知道，这里是相当不连续的。但这里，连续了。而且越来越好。我们看到它不像均匀金属棒那样被正则化得那么好，但仍然不算太糟。所以你看到了一些正则化效应。

至少，那是当时的猜想。而这正是尼伦伯格希望纳什用数学证明的东西。取任何合金——你知道，任何金属混合物——在任何几何形状中，任何维度下，以及任何初始的热量分布。让它作用几秒钟。它会变得光滑吗？这看起来像是一个非常具体的问题，但这是一个重要的问题，因为它是理解一整类相关问题的关键问题，你知道吗？

所以尼伦伯格向纳什解释了这个问题，纳什——哈！怎么做呢？好的。这就是我刚才向你解释的。这是数学表述。所以，如果温度T(t, x)是在具有不连续传导率的介质中——你知道，任何混合物——且初始温度分布不连续，那么一秒钟后，温度会是连续的吗？这就是问题所在。

纳什非常感兴趣——也核实了这能让他出名。 开始着手研究。开始研究这个问题。这很吸引人，因为我们有关于他如何研究的记述和证词。去见那些人，你知道，回头找尼伦伯格——告诉我更多关于它的信息！我想知道这个和这个。那个那个那个是真的吗？纳什根本不是那方面的专家——数学物理——扩散方程。一无所知。然后他去找其他人——普林斯顿的人，纽约的人。嘿，我听说你是这方面的专家。你能给我解释一下这个、那个和那个吗？起初他的问题相当愚蠢，你知道吗？就像，他是个局外人，对此一无所知。尼伦伯格开始怀疑，嘿，这家伙真像他们说的那么聪明吗？渐渐地，问题变得越来越切中要害。他让每个人都参与进来，像个指挥家一样，你知道吗？嘿，我的朋友，我需要你给我证明这个和这个。我认为你是专家，你能给我这个。我可以用它来证明更多的东西——等等。就像一个会分配任务的指挥家——你知道，这里，你是小提琴手——将演奏这个和这个。你是小号手。你将演奏这个和这个。每个人都做自己的部分。没有人理解宏伟的计划，除非管弦乐队开始演奏。纳什对此有总体规划。当六个月后问题得到解决时，每个人都感到惊讶。他让所有人都贡献了力量。

而且，解决方案再次令人惊叹。让我们来看看他由此写就的那篇著名论文——20世纪偏微分方程领域最著名的论文之一。“抛物型和椭圆型方程解的连续性”，作者约翰·纳什。现在你明白它是关于什么的了。1958年，24页——相当短。以现在的标准来看，非常短。

读读他对这个问题的看法很有趣。“非线性偏微分方程领域的开放问题与应用数学和整个科学界非常相关，也许比数学任何其他领域的开放问题都更相关，而且这个领域似乎正处于快速发展的态势。然而，很明显，必须采用新的方法。我们希望这篇论文能在这方面做出重大贡献，也希望我们之前论文中使用的新方法会有价值。” 这绝对是真的。“关于粘性、可压缩、导热流体的一般流动方程解的存在性、唯一性和光滑性，我们知之甚少。” 这仍然是真的。在他写下这些话将近50年后，我们对于这些方程的一些基本特性仍然处于黑暗之中。

他的风格非正式且信息丰富——非常有趣。你知道，他不仅仅是提出这个那个。他还谈到了关键结果。还告诉你他在哪些方面必须努力工作。他还说了诸如“这在量纲上是界限唯一可能的形式”之类的话——有点像物理学家那样推理。他谈到“动态不等式”。“动态不等式”是什么意思？嗯，你知道，是为了传达某种印象。这很宝贵。或者“强大的不等式”——等等。“这里的方法受到了物理直觉的启发，但数学表达的仪式往往掩盖了这种自然的基石。” 他不只是想让人们看透。他想让他们理解他是如何进入这个领域的。实际上，非常慷慨。

这些概念是出乎意料的。他从统计力学的角度思考热方程的解，将温度视为物质的密度。好像存在热原子这种东西一样。热原子并不存在。但让我们就这么想吧。他使用了玻尔兹曼以及后来的香农使用的熵（解的无序度）概念，来衡量该温度的无序度或微观不确定性。从物理角度来看，这个量 -∫ T log T 毫无意义。你知道，如果T像是物质的密度，那它就有意义了。但正如我所说，没有这样的东西，与温度相关的粒子。但它奏效了。在一个完全不同寻常的背景下。他在一个与其被引入的背景截然不同的语境中使用了这个概念。

他用他的证明展示了微分不等式的力量，这些涉及包含某种意义上信息的简单量的不等式，这些不等式关乎各种量的斜率。这有点像格里戈里·佩雷尔曼再次引发的那种惊奇，当他表明，为了解决庞加莱几何问题，引入某种熵是有用的。

这是一个由几个部分组成的杰作。让我不深入细节，但非常迅速地说，它就像第一幕是关于理解某种类似热原子的东西的位移。像布朗运动，像温度粒子。通过它们，温度既不太低也不太强。温度源的贡献在某种意义上会重叠。如果两个点源很近，那么产生的热分布也很近，以及去连续性。这些步骤中的每一步都有精确的数学表述。你知道，在数学的理想中，圣杯是拥有一个优美漂亮的证明。我们从古希腊人那里继承了这个概念，特别是几何学。这个从那个推导出这个，等等。他们喜欢玩这个，但是——就像，砖块不是三角形和直线。这些是，比如，热分布的定性属性。

让我跳过这个，尽管这些是一些不等式。让我们聚焦于这里的一件事。你看，这里写的是纳什不等式，在幻灯片的中间。分析学界的每个人都知道这是纳什不等式。事实是——如果你读纳什的论文，这很清楚——纳什没有证明这个不等式。他请他的一位名叫斯坦（Stein）的同事来证明这个不等式。斯坦是这类事情的专家。“你想要这个不等式？是的。让我为你证明它。做法是这样的。”“谢谢。” 纳什展示了如何将其用于那个热分布问题。他在整合各个部分方面是天才。诸如此类。让我们跳过这个——还有这个。实际上，他从另一个人那里得到了这个，从他的同事卡尔森（Carlson）那里，卡尔森在他研究了玻尔兹曼方程专家的同事之后，向他介绍了熵的概念。这就是纳什的风格，从这里拿一个想法，从那里拿一个想法。嗯——我认为它们是相互关联的。我会用它们。等等。这太棒了。

同期发现与后续

好莱坞和电影，之后将是盛大的庆祝。我不知道——纳什会娶一个漂亮的女主角什么的。但事实并非如此。庆祝活动落空了。1957年，纳什听说一位年轻的、不知名的意大利数学家恩尼奥·德乔吉（Ennio de Giorgi）用不同的方法证明了相同的结果。对所有数学家来说，这将成为，你知道，教科书级别的例子，同时发现的典型案例——由不同的人，在同一时间，用不同的方法。德乔吉当时完全不为人知。他古怪，像修士一样生活，是个天才。他后来成了一个活着的传奇。他的证明为几代专家设立了标准。

纳什，尽管如此聪明，却病态地需要认可，并将这次巧合归咎于他未能获得1958年的菲尔兹奖，那年的奖项颁给了法国数学家勒内·托姆（René Thom）。

尾声是阴暗的。纳什的论文被《数学学报》（Acta Mathematica）接受，这在当时可以说是世界上最好的期刊——也许现在也是。而在它被接受后，他撤回了它。你知道，如果你的论文被这样的期刊接受了，却撤回它，这是闻所未闻的。他把它寄给了《美国数学杂志》（American Journal of Mathematics）——这也许是《美国数学杂志》历史上最著名的论文——希望能获得1959年的博歇奖（Bocher Prize），这个奖项必须颁给在该杂志上发表的论文。好的。徒劳无功。那年获得该奖的是尼伦伯格！因为其他一些工作。嗯！

晚年认可与结局

纳什实际上那时已经经历了偏执妄想——一场漫长悲剧的开始，超过二十年的时间里，时而进出精神病院，时而复发，时而思维清晰，其他时候则完全悲惨——在普林斯顿的走廊里游荡，胡言乱语，等等。

与此同时，他的论文将掀起它们的革命。1980年，有人问路易·尼伦伯格，你认识可以被认为是天才的数学家吗？尼伦伯格回答说：“我只能想到一个，那就是约翰·纳什。” 2011年，在一次采访中，有人问一位年轻杰出的普林斯顿数学家约翰·帕登（John Pardon），你最喜欢的普林斯顿人是谁，无论在世还是已故，他回答说：“可能是约翰·纳什。”

1994年，当他摆脱了精神疾病的困扰后，纳什因其博士论文，因那篇定义了纳什均衡的两页论文，被授予诺贝尔经济学奖。情况是这样的。好的，你知道这不完全是诺贝尔奖。它是瑞典国家银行纪念阿尔弗雷德·诺贝尔经济学奖，联合授予——等等，等等——包括约翰·纳什，“以表彰他们在非合作博弈理论中对均衡进行的开创性分析。” 看起来纳什的天才终于得到了承认。

2001年，有了电影《美丽心灵》。这是罗素·克劳，扮演纳什的角色。我不确定他是否理解黑板上写的任何东西。 我能认出这些是等距嵌入的方程。这部电影巧妙地把纳什生活中的一切都搞得一团糟。 时间顺序是错的，精神状况的性质是错的，科学贡献的性质也是错的。令人惊讶的是，这部电影如何在所有点上都弄错了。太厉害了。纳什讨厌这部电影的每一个细节。但有趣的是，他的妻子——他的妻子艾丽西亚——觉得由好莱坞美女詹妮弗·康纳利在银幕上扮演自己很可爱。

现在，对于数学家来说，这仍然是一个问题，你知道，纳什的天才在经济学领域得到了认可，但并非因为他真正优美的、与几何和分析相关的数学工作。渐渐地，这种公众认可到来了。2009年是一个巨大的轰动，当时纳什的思想引导卡米洛·德莱利斯（Camillo De Lellis）和拉斯洛·塞凯伊希迪（László Székelyhidi），分别是来自意大利和匈牙利的聪明的年轻数学家，构造了一些欧拉方程的不可能解——疯狂的解。想象一种流体，最初处于静止状态，然后开始疯狂地搅动，然后再次静止，而没有任何外力作用于它。这让我们重新思考了什么是流体方程的解的定义。

2012年，我在《定理的诞生》（Birth of a Theorem）中描绘了我与纳什的情感邂逅。这本书，像是自传体的书，或者至少是讲述证明一个定理是怎样的。所有的起伏、困难、错误、旅行、与人会面——等等。其中一章专门讲述了我在普林斯顿的T楼与纳什的相遇。我当时非常，你知道——他对我来说意义重大。我非常，怎么说呢，印象深刻，以至于第一次遇到他时我甚至不敢和他说话。

2015年，纳什终于被授予了阿贝尔奖。阿贝尔奖，与菲尔兹奖一起，无疑是最负盛名的奖项。阿贝尔奖肯定比菲尔兹奖更难获得。阿贝尔奖更年轻——大约15年前开始设立。阿贝尔奖通常颁给那些七十多岁、在世的、做出了人尽皆知且令人惊叹贡献的活着的传奇人物。当时我正坐在阿贝尔奖的委员会里。对我来说，这也非常激动，作为委员会中在科学上与纳什最接近的人——你知道，负责为纳什的工作辩护的人。关于讨论的更多内容我就不说了，因为，当然，这是保密的。但我们围绕此进行的讨论非常有趣。

2015年5月19日，在奥斯陆，阿贝尔奖联合授予了约翰·纳什和路易·尼伦伯格——你知道，这两个人，他们有着漫长的共同历史——以表彰他们“在非线性偏微分方程理论及其在几何分析中的应用方面做出的引人注目的相似贡献”。非常感人的时刻。你必须想象一下那个仪式，还有——挪威国王在那里，纳什发表演讲，等等。纳什有一个公开演讲，在演讲中纳什回忆了他的一些早期工作，以及他与爱因斯坦讨论过的、与广义相对论相关的其他一些工作。我有幸担任他的会议主席。这实际上是我们的第四次相遇。对于整个（数学）界来说，每个人都认为，终于——纳什得到了这份奖励。这是他应得的。

所以当时的情绪是——获得这个奖之后，他至少——他可以放松了——得到认可，金钱，等等。并非如此。2015年5月23日，从颁奖典礼回来，在前往普林斯顿的途中，他与妻子一同在一次出租车事故中去世。

后来我们再次与尼伦伯格会面，试图理解这一切，等等。尼伦伯格纳什做任何事都从不像任何人。像外星人。总是给出那些起初没人能理解的证明。他自己也无法解释它们——总是看到人们认为不可能的事情。因为他的博士论文工作获得诺贝尔奖，那是在他得了一种被认为永远无法恢复的疾病并变得精神失常之后。最后，他的死也与众不同。

结论与传承

无论如何，这是悲剧性的。但它的美妙之处，当然，在于那些方法。许多数学家觉得纳什是他们家庭的一部分，因为他带来了如此多的思想和技术。如果我思考我自己的工作，我可以清楚地看到与纳什工作的联系。对统计力学问题的品味，对熵的偏好，正则性的关键作用——我和我的合作者在类似问题中发现了这一点。例如，在我们最受关注的论文之一，关于等离子体行为的问题中——我们揭示了正则性的作用是多么关键，其方式是物理学家或数学家之前没有理解到的。而且，也像纳什一样，我钦佩他的才能，乐于对给定的简单问题进行这种锐利、大规模的攻击，在某种意义上——使用简单且校准良好的工具，总是试图揭示新的联系。这个想法，那个想法，让我们把它们放在一起，等等。

所以，在某种程度上，纳什的遗产仍在延续。我将以此结束。放上，闪过，这份参考书目，顺便向你们推荐纳萨尔（Nasar）的《美丽心灵》这本书——嗯，特别是第20、30、31章，在这些章节中，你会找到数学成就背后的故事——这对于我们来说，甚至比精神疾病的故事重要得多。纳什写了四篇大论文，你知道。与一大串论文列表相比，这不算什么。但是，在这四篇论文中，可能有三篇，回想起来，都值得获得菲尔兹奖。

在我的网页上，我的博客上，日期为2015年12月26日，你还会找到一篇法文的短文——或者不那么短——纪念约翰·纳什，标题是“Brève rencontre”——“短暂的相遇”。以此，我将结束这次演讲。谢谢大家。