「人物志」CIRM 访谈录：彼得·舒尔茨 (Peter Scholze) - 2018年菲尔兹奖得主
一、 引言
彼得·舒尔茨在仅用三个学期完成学士学位、再用两个学期完成硕士学位后，便以数学家的身份崭露头角。舒尔茨随后关于 Perfectoid 空间的博士论文，给出了权重单值猜想 (Weight-Monodromy Conjecture) 一个特例的解。
他在完成博士学位后不久即被聘为正教授，成为德国最年轻的正教授。
自2011年7月起，舒尔茨成为克雷数学研究所的研究员。2012年，他荣获 Prix and Cours Peccot 奖。2013年，他被授予 SASTRA 拉马努金奖。2014年，他获得了克雷研究奖。2015年，他被授予弗兰克·尼尔森·科尔代数奖以及奥斯特洛夫斯基奖。
根据波恩大学及其同行们的说法，彼得是他所在领域最杰出的研究人员之一…
（以下为 Peter Scholze 的访谈内容）
二、 个人背景与早期经历
我不是在德累斯顿出生的，但在我四个月大的时候，我的父母搬到了波恩，所以我是在波恩长大的。我的父亲是一位物理学家，他在一个电子加速器工作，做一些实验研究。我的母亲是一位计算机科学家。我的姐姐学了化学。所以，如果你把数学也算作自然科学的话，我们家几乎涵盖了所有自然科学领域。
我上的学校也比较特殊。我是在以前的德意志民主共和国（东德）地区长大的，那里曾有一些专攻自然科学、数学等的特殊学校。这些学校实力非常强，并且确实培养出了大量相当知名的数学家。举个例子，我们波恩大学代数几何系的同事中，有三个人都来自我上的那所高中。
我想，我很早就想成为一名数学家了，已经有很长时间了。
其中一个原因可能是，在那所学校，你必须参加数学奥林匹克竞赛的头几轮。出乎我自己的意料，我做得相当不错，然后就有点沉迷于这类竞赛了。但与此同时，我逐渐意识到，在大学里所做的数学研究和这些奥数竞赛是很不一样的，我对“真正的数学”更感兴趣。所以，我认为对我影响很大的一件事是，当我了解到费马大定理被安德鲁·怀尔斯证明了的时候。
于是我开始阅读关于这个定理、关于椭圆曲线、关于模形式的资料，试图去理解它们是什么，尽管在那个时候我完全不具备所需的基础知识，比如复分析、线性代数，这些我全都不懂。
但不知怎地，我还是设法理解了一些东西，并且直到现在，我仍然被同样类型的问题深深吸引着。
我不记得（最早接触数学的具体情景）了。但我确实记得读过一本有点奇怪的儿童数学书，我想德语书名是...（忘了书名，可能是《Der Zahlenteufel》）。
我不记得里面具体写了什么，但它以一种童话故事的形式，介绍了很多相当有趣的数学思想，比如，那个悖论，一个人追着乌龟跑但永远追不上（著名的芝诺悖论），或者是如何在沙漠里通过反复对半分割沙漠来抓住一只狮子。
我认为真正让我深入数学的时刻，是当我开始理解费马大定理证明过程中的内容时。我想那大概是在我16岁左右的时候。
三、 核心数学贡献：Perfectoid 空间
Perfectoid 空间旨在处理一些… 我想，大部分数学是建立在所谓的实数之上的，就是你从学校里熟悉的那些。
但是，像数论这样的领域，它们研究的是像 1、2、3 这样的整数，我们（在数论中）不太关心像 π 这样的超越数。事实证明，存在一种不同的方式将“超越性”引入整数体系，这种方式揭示了关于整数本身的其它信息，这就是 p进数 (p-adic numbers)。在 p进数理论中，如果两个数的差能被 p 的高次幂整除，我们就称这两个数是“接近的”。p进世界的故事和我们更熟悉的实数世界的故事之间有许多相似之处，但另一方面，p进世界也有许多奇特的特征。
而这些 Perfectoid 空间，就是为了捕捉 p进数的一些奇异信息，并将它们与一种更几何化的情境联系起来。
嗯，关于这个名字（Perfectoid spaces），我得为此道歉。这个名字的由来是这样的：在此之前，数学界已经有两个早已确立的概念。一个是“完美环”(perfect ring) 的概念，这是一种特征为 p 的环，其上的 p 次幂映射是一个双射。
另一个是所谓的“仿射环”(affinoid ring) 的概念，它出现在 p进几何中。
然后，我当时得到的某种环，它具有完美环的特性，但却更多地存在于这种 p进解析的世界里，所以很自然地就在“perfect”后面加上了后缀“oid”，这就是这个名字的由来。
嗯，我最初设计 Perfectoid 空间的理论，是为了证明某个关于… 事实证明，在 Perfectoid 空间的理论中，存在一种等价关系，连接了两个不同的世界：一个是更偏向 p进的世界，另一个是更偏向几何的世界。它在这两者之间建立了一座桥梁。我当时想证明的是权重单值猜想 (Weight-Monodromy Conjecture) 在 p进域上的情况。这个猜想在更几何化的背景下是已知的（某些情况）。利用这座桥梁，我至少可以在某些情况下证明这个权重单值猜想。
这就是我最初构思这个理论时所设想的应用。在我找到 Perfectoid 空间这个理论之前，我已经思考这个权重单值猜想大约三年了。
这是一个非常缓慢的过程。我当时有一种感觉，觉得应该存在某种东西，然后我逐渐能够越来越清晰地把握它。到了某个阶段，我有了一个非常精确的几何图像，它联系着两个世界中的射影空间。
我只需要弄清楚这个几何图像的真正含义。正如我所说，这并不是一个精确的“顿悟”时刻。
它发生在我对哈佛大学进行一次为期三到四个月的长期访问期间。在那里，我与我的导师 Michael Rapoport 以及我的同辈博士生 Eugen Hellmann 进行了大量的讨论。他们帮助我理清了思路。
四、 研究领域：朗兰兹纲领
朗兰兹纲领 (Langlands Program) 大致上是试图关联两类不同群的表示。一类是伽罗瓦群 (Galois groups)，它们编码了有理数域上多项式方程解中存在的某些对称性。
而另一类，则是算术群 (arithmetic groups)，比如 SL(2,Z) —— 有些关于它作用在上半平面的著名图像，以及其中蕴含的精细对称性。
所以，你试图将这两类群的表示理论联系起来。通常的做法是构造一个空间，让这两类群都作用于其上。
然后，例如通过考察这些空间的同调群 (cohomology)，你可以得到一些向量空间，这两类群都作用在这些向量空间上，然后你就可以通过这种方式来关联这两个群的表示理论。
我刚才谈到了这些 p进域和所谓的函数域之间的相似性。在函数域的情形下，人们知道很多实现这种对应的几何空间，即所谓的 Shtukas 模空间 (modular spaces of Shtukas)，这是由 Drinfeld 发明的，后来被 Lafforgue 和 Vincent Lafforgue 用来证明了函数域上朗兰兹猜想的非常广泛的情形。而在数域或 p进域（如有理数域）上，目前我们能使用的空间类型更为受限，这也对我们能够证明的关于朗兰兹猜想的内容造成了一些限制。
我目前的希望是，在 p进域上，我可以构造出比现有类型更一般的空间，其一般性可以媲美你在函数域情况下所拥有的空间。然后，希望能够从中至少推导出关于这些 p进域的局部朗兰兹猜想 (local Langlands conjectures)。
是的，我希望我们能在这方面做些事情。
五、 学术影响与交流
（关于 Gerd Faltings）直到几年前，我们俩（我和法尔廷斯）总的交谈时间加起来可能还不到五分钟。尽管如此，我从他那里学到了极其大量的数学知识，我的很多数学工作都受到了他工作的启发。每个学期他都会在波恩大学开设算术几何方面的课程，我也去听了这些课。但我们之间仍然没有太多交谈。
六、 在 CIRM 的感受
我非常喜欢待在这里（CIRM），这是一个很棒的地方。我喜欢去远足，喜欢去这里的卡兰克斯（Calanques）游泳。是的，这儿很棒。