「人物志」柏原正树-2025阿贝尔奖
内容提要
一、 引言与期待 (0:30-1:06)
- 地点：挪威奥斯陆
- 事件：即将宣布2025年阿贝尔奖得主
- 阿贝尔奖背景：自2003年起每年由挪威科学与文学院代表教育部颁发，旨在奖励工作具有卓越深度与重要性的数学家
- 宣布人：挪威科学与文学院院长 Annelin Eriksen
二、 正式宣布获奖者 (1:13-1:42)
- 宣布者：挪威科学与文学院院长
- 2025年阿贝尔奖得主：柏原正树 (Masaki Kashiwara)
- 获奖理由（简要）：在代数分析和表示论领域做出了基础性贡献，特别是发展了D-模理论和发现了晶体基底
三、 阿贝尔奖背景介绍 (2:55-3:28)
- 设立背景：2002年由挪威政府设立，纪念挪威天才数学家尼尔斯·亨利克·阿贝尔诞辰200周年
- 阿贝尔简介：26岁英年早逝，但在多个数学领域有开创性贡献
- 评选流程：国际知名数学家组成的阿贝尔委员会评审提名者，并向挪威科学与文学院董事会推荐获奖人选
四、 详细解读获奖者贡献 (3:28-8:47)
- 解读人：阿贝尔委员会主席 Helge Holden
- 获奖者单位：京都大学数理解析研究所及高等研究院
- 获奖理由（完整）：在代数分析和表示论领域的基础性贡献，特别是发展了D-模理论和发现了晶体基底
- 主要学术贡献详解：
- 代数分析：由佐藤干夫开创，柏原正树对此做出开创性贡献，连接了表示论
- D-模理论：为研究线性偏微分方程组提供了代数语言；柏原在1970年的硕士论文中发展了解析D-模理论，引入了特征簇等基本概念，并证明了柯西-柯瓦列夫斯卡娅定理的广泛推广
- 层的上同调分析：与Pierre Schapira长期合作发展，将流形上的微分方程与余切丛上的几何对象联系起来
- 黎曼-希尔伯特对应：柏原表述并证明了一个广泛推广的黎曼-希尔伯特对应（正则霍洛诺姆D-模与反常层之间的等价性），Zoghman Mebkhout也独立获得此结果；近期与Andrea D’Agnolo将此对应推广到非正则情形
- 表示论中的Kazhdan–Lusztig猜想：柏原与Jean-Luc Brylinski合作，应用黎曼-希尔伯特对应证明了该猜想（Alexander Beilinson和Joseph Bernstein也独立证明）；后与谷崎俊之将此猜想推广到仿射李代数
- 晶体基底：受数学物理启发，为量子群引入了晶体基底概念并证明其存在性（使用了“大循环论证”）；与George Lusztig独立发现的典范基底/全局基底相关，是对杨图理论的推广
- 总结评价：柏原正树是一位极其多产的数学家（合作者超70人），50多年来重塑并极大丰富了表示论和代数分析领域，持续引领当代数学前沿
五、 通俗化解读获奖者贡献 (13:39-20:11)
- 柏原工作的比喻：在数学的不同领域（代数、分析、几何/拓扑）之间搭建了宏伟的桥梁
- 代数分析：用代数方法处理分析（研究变化）问题
- D-模理论：23岁时在硕士论文中奠定基础，用于代数化分析线性偏微分方程组，理解解的性质而非具体求解
- 黎曼-希尔伯特问题/对应：利用D-模解决了关于复域中带奇点（类比莫比乌斯环）的微分方程解的存在唯一性问题，并连接到拓扑学（层）
- 表示论与对称性：用代数研究对称性（从简单方块到复杂球体乃至更高维抽象对象）；涉及李群（连续对称性）和量子群
- 晶体基底：将量子群描述的复杂对称性转化为图论结构（类比柯尼斯堡七桥问题），连接表示论与图论，应用广泛
- 获奖肯定：表彰其在D-模、晶体基底及对代数分析、表示论乃至整个数学的广泛贡献，是一位先驱、远见者和数学桥梁的建造者
六、 获奖者访谈 (20:17-26:42)
- 获奖感受：感到非常不可思议，50多年的工作得到认可，非常感谢
- 关于合作：强调合作的重要性及多样性（回答问题、提供工具、共同研究），感谢所有合作者
- 研究方法：喜欢做“小计算”（类似物理或工程的实验），有时能带来意想不到的启发或为未来工作打下基础
- 对数学的兴趣来源：深受导师佐藤干夫（代数分析创始人）的影响，认识到数学是可以创造新事物的
- 关于D-模理论：写硕士论文时并未预见到其重要性，只是理论的开始
- 对年轻学生的建议：创造新事物非常重要，即使很小也要去创造
- 童年经历（鹤龟算）：小学时遇到此问题，促使他自学初等代数（设未知数X, Y）来轻松解决，大约在10岁左右
七、 结语与未来活动 (26:53-29:06)
- 阿贝尔奖宗旨：表彰杰出学者、庆祝数学、激励青少年对数学的兴趣
- 阿贝尔奖特点：特别强调激励青少年
- 后续安排：期待五月在奥斯陆举行的阿贝尔奖周庆祝活动
- 颁奖典礼信息：5月20日下午2点（挪威时间），挪威国王哈拉尔五世将为柏原正树颁奖
- 获奖者讲座信息：5月21日在奥斯陆大学举行
- 邀请：欢迎公众前往奥斯陆共同庆祝
视频脚本
一、 引言与期待 (0:30-1:06)
大家好，欢迎来到挪威的奥斯陆，我们即将在这里得知一些非常激动人心的消息。谁赢得了今年的阿贝尔奖。该奖项自2003年起每年由挪威科学与文学院代表教育部颁发。阿贝尔奖旨在奖励那些工作具有卓越性、深度和重要性的数学家。我们现在就在（挪威科学与文）学院，即将从学院院长Annelin Eriksen那里得知今年获奖者的身份。那么，让我们来找出他是谁吧。
二、 正式宣布获奖者 (1:13-1:42)
作为挪威科学与文学院院长，我很荣幸也很荣幸地宣布2025年阿贝尔奖的获奖者。挪威科学与文学院董事会决定将2025年阿贝尔奖授予柏原正树 (Masaki Kashiwara)，以表彰他在代数分析和表示论方面的基础性贡献，特别是在D-模理论的发展和晶体基底的发现方面。
三、 阿贝尔奖背景介绍 (2:55-3:28)
阿贝尔奖由挪威政府于2002年设立，旨在纪念挪威天才数学家尼尔斯·亨利克·阿贝尔诞辰200周年。阿贝尔在26岁英年早逝之前，已在多个数学领域做出了开创性的贡献。每年，由国际知名数学家组成的阿贝尔委员会评审该奖项的提名候选人，并向挪威科学与文学院的阿贝尔董事会推荐获奖者。
四、 详细解读获奖者贡献 (3:28-8:47)
接下来，将由阿贝尔委员会主席Helge Holden告诉我们为何柏原正树被选为今年的阿贝尔奖得主，并宣读完整的获奖理由。
挪威科学与文学院将2025年阿贝尔奖授予日本京都大学数理解析研究所及京都大学高等研究院的柏原正树，“以表彰他在代数分析和表示论领域的基础性贡献，特别是在D-模理论的发展和晶体基底的发现方面。”
对称性在数学和物理世界中无处不在。表示论使用代数工具来研究给定对称性可以通过向量空间上的线性变换来表达的各种方式。另一方面，线性偏微分方程传统上使用分析工具进行研究。由佐藤干夫（Mikio Sato, 1928–2023）的工作开创的代数分析，是通过代数手段对这些方程进行的系统研究。柏原对这一纲领做出了开创性的贡献，带来了表示论中令人惊讶的联系和惊人的结果。
D-模提供了一种代数语言来研究线性偏微分方程组。柏原1970年的硕士论文发展了解析D-模理论，引入了特征簇的基本概念，并证明了柯西-柯瓦列夫斯卡娅定理的一个巨大推广。这很早就证明了代数方法在解决分析性质问题方面的威力。柏原在与皮埃尔·沙皮拉（Pierre Schapira）富有成效的合作中发展层的微局部分析（microlocal analysis of sheaves）时，进一步推进了这一哲学。简而言之，微局部分析将流形上的微分方程与余切丛上的几何对象联系起来。柏原与河合隆裕（Takahiro Kawai）和佐藤一起，在该理论中引入了各种基本的新概念，并阐明了线性微分方程组的一般微局部结构。
希尔伯特的第21个问题，通常称为黎曼-希尔伯特问题，要求在黎曼球面上存在一个具有正则奇点和给定局部庞加莱群（local monodromies）的线性微分方程。皮埃尔·德利涅（Pierre Deligne）扩展并解决了更高维度的此问题。柏原表述并证明了一个极大推广的黎曼-希尔伯特对应，即正则完整D-模（regular holonomic D-modules）与反常层（perverse sheaves）之间的等价性。这一结果由Zoghman Mebkhout独立获得。就在最近，柏原和Andrea D’Agnolo将黎曼-希尔伯特对应扩展到了未必正则的完整D-模。
表示论中的Kazhdan–Lusztig猜想可以看作是连接表示的特征标与相交上同调群。它由柏原与Jean-Luc Brylinski共同证明，这是黎曼-希尔伯特对应的一个惊人应用。Alexander Beilinson和Joseph Bernstein使用不同方法获得了独立证明。柏原和谷崎俊之（Toshiyuki Tanisaki）后来通过在无限维旗簇上发展D-模理论，将Kazhdan–Lusztig猜想推广到了无限维仿射李代数。
从那时起，D-模理论已成为不可或缺的工具，并在表示论中带来了无数新的发展，包括在正特征域上的研究。受到数学物理中可解格点模型研究的启发，弗拉基米尔·德林费尔德（Vladimir Drinfeld）和神保道夫（Michio Jimbo）在80年代末独立地形式化了量子群。它们是复半单李代数或 Kac–Moody 李代数的包络代数的形变。柏原引入了晶体基底的概念，并证明了量子群的可积最高权表示存在晶体基底。其证明过程通过一个现在被称为“大循环论证”（grand loop argument）的复杂归纳过程进行，这是一项随着时间推移并未被大幅简化的杰作。柏原还将晶体基底推广为全局基底，乔治·卢斯蒂格（George Lusztig）也独立地发现了此概念，并称之为典范基底。这项工作可以被认为是杨图和杨表理论的一个广泛而富有成果的推广。
柏原是一位极其多产的数学家，合作者超过七十位。五十多年来，他重塑并极大丰富了表示论（在其多种形式下）和代数分析领域。他的工作持续处于当代数学的前沿，并激励着一代又一代的研究人员。
五、 通俗化解读获奖者贡献 (13:39-20:11)
柏原正树是数学不同领域之间的桥梁建造者。不仅仅是连接两个想法的小桥，而是跨越数学世界的宏伟桥梁。想象一下一座美丽的桥，它使用全新的建造技术将挪威与南美连接起来，或者将日本与南极洲连接起来。柏原用他独创的思维连接了代数和分析这两个数学大陆，然后又连接了第三个数学大陆——几何。他的想法不仅本身优美而才华横溢，它们还为许多其他数学家开辟了探索新领域和解决新问题的道路。
在东京大学，柏原在他的导师和引路人佐藤干夫的指导下，开创了代数分析，将代数的方法应用于分析——即研究事物如何变化的数学——的问题。柏原在他年仅23岁时完成的硕士论文中，奠定了D-模理论的基础，作为一种代数化分析线性偏微分方程组的方法。
微分方程描述了事物如何变化。解一个线性微分方程不仅能告诉你从A地到B地需要多长时间，还能告诉你我在某个特定点的移动速度，以及我是在加速还是减速。像柏原这样的数学家，他们对求解方程组本身的兴趣，不如对找出解（如果存在的话）将具有什么性质的兴趣更大。并非每个微分方程中的每个点都有可定义的解。如果一个函数定义为1/x，那么当x为零时，1/x会变成…无穷大。这样的点被称为奇点。数学中一个长期存在的问题，希尔伯特的第21个问题，有时被称为希尔伯特-黎曼对应（Hilbert-Riemann correspondence），询问的是在复数域（实数和虚数共存的地方）具有此类奇点的特定类型微分方程的解。在复流形上，这些奇点周围的解的行为可能确实非常奇怪。有点像……沿着莫比乌斯带上的箭头走，你可以沿着解回到起点，却发现自己并不在起点。具有这些奇怪点的微分方程系统被称为具有单值性（monodromic）。黎曼-希尔伯特问题提出：我们能否断言某一特定类型的微分方程系统总会具有这种单值性属性，并且我们能否精确预测那些奇点将出现在哪里？
利用他的D-模理论，柏原得以证明，在任何维度下，总会存在一个满足预测要求的唯一微分方程。Zoghman Mebkhout在同一时间也独立地做到了这一点。在证明这个黎曼-希尔伯特对应时，柏原建立了一座通往拓扑学领域的新桥梁，将D-模与称为“层”（sheaves）的拓扑对象联系起来。
柏原在层方面的工作，与皮埃尔·沙皮拉长达50多年的合作，也建立了一座通往另一个数学区域——表示论的桥梁。表示论使用代数来研究对称性。像方形瓷砖这样的简单物体具有有限数量的对称性：它可以旋转四分之一圈或半圈。它可以沿着连接对角的线反射，或者沿着连接对边中点的线反射。但像球体这样的物体则有无限多的对称性，因为它可以绕任何轴旋转，并且可以在通过中心的任何平面内反射。而数学对象，在具有更多维度的抽象空间中，可以以非常复杂的方式组合对称性。这些对称性之间的关系可以通过代数的一个分支——群论来表达。挪威数学家索菲斯·李（Sophus Lie）发明了李群，用于描述连续的对称群，比如球体的对称群。量子群最初是为了在统计力学中使用李群而发展起来的，但柏原发明了另一种全新的使用它们的方式。
柏原发明的晶体基底建造了另一座桥梁，这次是连接表示论和图论。图论使用节点（或顶点），由边（或链接）连接，来模拟结构或系统。数学家欧拉将著名的柯尼斯堡七桥问题转化为一个图。该问题是——是否存在一条环绕柯尼斯堡市——波罗的海沿岸的一个真实城市，现名加里宁格勒——的路线，恰好穿过其所有七座桥各一次，并最终回到起点？欧拉使用了四个节点代表城市的两个岛屿和河的两岸，并用七条链接代表它们之间的七座桥梁。利用图论，欧拉得以证明了不存在可能的解：你无法在不重复过桥或不漏掉某座桥的情况下回到起点。柏原的晶体基底将一个由量子群描述的数学对象的组合对称性，转化为一个图。所有具有相同对称性组合的对象共享同一个图。晶体基底现在在整个表示论中得到应用。
2025年阿贝尔奖授予柏原正树，特别表彰他在D-模和晶体基底方面的工作，同时也表彰他对代数分析、表示论以及整个数学的更广泛贡献。他是一位先驱、远见者，以及美丽的数学桥梁的建造者。
六、 获奖者访谈 (20:17-26:42)
现在，直接连线日本京都的柏原正树教授。
问：- 你好！ - 见到您非常荣幸！
答：谢谢。
问：恭喜您获得阿贝尔奖！您对获奖有何感想？
答：这真是个难以置信的消息！我感觉自己五十多年的工作得到了很好的认可。非常感谢！
问：在您的工作中，您与超过70位不同的人合作过，为什么与他人合作对您如此重要？
答：您需要知道，合作有很多种形式。在一次合作中，有人提出了一个问题，而我知道答案。所以，我们合写了一篇论文。而在另一种情况下，有人有一个好问题，但他不知道如何解决。他知道我有解决这个问题的有效工具。或者，在某些合作中，我花了很长时间研究一个课题。我想借此机会感谢我所有的合作者！
问：许多人说您有一种非凡的天赋，能够找到不同的方法，并看到数学不同部分之间的联系。您认为这种天赋从何而来？
答：我喜欢做一些小的计算。这就像其他学科，比如物理学或工程学等等中的实验一样。很多时候，这些小计算什么也得不到。但也许它能验证一个理论，或者极少数情况下，它能为未来的工作提供一个好的方向（good sheaf）。或者有时它会给出一个意想不到的方向（unexpected sheaf）。所以，这就是我做数学的方式。
问：您还记得最初是什么让您对数学感到兴奋和产生兴趣的吗？
答：我强烈的兴趣来自于我的教授，佐藤干夫先生。我非常感激他。佐藤先生是代数分析的创始人。当我开始学习数学时，我和他以及我的合作者河合隆裕一起致力于构建代数分析。我从佐藤教授那里学到的最重要的事情，就是创造新事物。在遇到他之前，我以为数学早已定型，我没有什么可以补充的了。但他告诉我，事实并非如此。我们可以增添和创造新的东西。
问：我想，在50年的时间里，您已经证明了您可以创造许多新事物。那么，在您的硕士论文中，当您只有23岁的时候，您就发展了D-模的概念，那对于代数分析这个新领域是基础性的，您当时意识到，当它仅仅是一篇硕士论文的时候，它会有多么重要吗？
答：我没有想过那个。我的论文只是这个理论的开端。
问：对于今天可能正在开始写硕士论文的年轻数学系学生，您有什么建议吗？
答：我可以重复我从佐藤教授那里学到的东西：创造新事物真的很重要。请去创造新事物，即使它非常微小。
问：我在另一次采访中听到您说，您在学校遇到过一个叫做“鹤龟算”（Tsuru-Kame Zan）的问题？
答：是的。
问：您能为我们解释一下吗？
答：是的，那是我们在小学数学课上学的东西。嗯，tsuru（鶴）意思是鹤。一种鸟。Kame（亀）意思是乌龟。Zan（算）意思是计算。所以，Tsuru-Kame Zan（鶴亀算）就是鹤龟算。问题是这样的：你知道动物——鹤和龟——的总数，也知道腿的总数。所以，你应该知道鹤有两条腿，而乌龟有四条腿。很久以后我们才了解到代数是多么强大。
问：那算是您第一次接触代数吗？
答：是的，我去查了百科全书，学习了关于X和Y以及初等代数的知识。然后我就知道我们可以非常容易地解决鹤龟算了。
问：所以，那时候您就已经在做自己的研究，寻找通用的解决方法了。
答：是的。
问：您当时多大？
答：10岁左右吧。
问：您是个神童啊。
问：很荣幸也很高兴见到您，柏原先生。我期待五月份在奥斯陆欢迎您！ 答：我也很期待在奥斯陆见到您！
七、 结语与未来活动 (26:53-29:06)
再次恭喜柏原教授。现在，为了让我们更多地了解阿贝尔奖，我们再次请到了挪威科学与文学院院长Annelin Eriksen。
问：学院为何设立阿贝尔奖？
答：嗯，实际上，阿贝尔奖是挪威政府在2002年设立的，而学院，我们的学院——挪威科学与文学院，负责监督这项工作。委员会、评选过程和颁奖典礼。目的当然是表彰杰出的学者和卓越的头脑，但也是为了颂扬数学，并鼓励和激发儿童与青少年学习数学。
问：阿贝尔奖是少数几个主要的国际数学奖项之一。它与其他奖项有何不同？
答：正是这种对年轻人的包容：激励儿童和青少年对数学产生兴趣。阿贝尔奖资助了几个旨在激发学童数学积极性的项目。当五月份颁奖时，来自多个国家的有抱负的年轻数学家将应学院邀请出席，也许未来的阿贝尔奖得主就在他们中间。
问：现在我们知道了2025年的获奖者是谁。接下来会发生什么？
答：嗯，我们都非常期待五月在奥斯陆举行的阿贝尔奖周。这将是一场精彩的庆祝活动！非常感谢阿贝尔委员会的出色工作。我欢迎大家参加于5月20日星期二下午2点（挪威时间）在奥斯陆大学礼堂举行的阿贝尔奖颁奖典礼。柏原正树将从挪威国王哈拉尔五世陛下手中接过阿贝尔奖。此外，还将于5月21日星期三在奥斯陆大学举行一场致敬获奖者的讲座。注册很快将通过我们的网站开放。我们非常欢迎您来到奥斯陆，与我们一同庆祝今年的阿贝尔奖得主。