一位数学家的自白 （G.H.哈代）「Rosetta」
- 作者：G. H. 哈代
- 首次出版于 1940 年 11 月
由于作者逝世已逾五十年，本书在加拿大自治领现已进入公有领域。电子版初版，版本 1.0 2005 年 3 月由阿尔伯塔大学数学科学学会出版 可在万维网上获取 http://www.math.ualberta.ca/mss/
献给约翰·洛马斯，他曾邀我写下此书
前言
我非常感谢 C. D. 布罗德教授和 C. P. 斯诺博士提出的许多宝贵批评意见，他们二位都阅读了我的初稿。我已将他们几乎所有的建议实质内容融入我的文本中，从而消除了许多粗糙和晦涩之处。
有一种情况，我处理方式有所不同。我的 节是基于我年初为《尤里卡》（剑桥阿基米德学会期刊）撰写的一篇短文，我发现要修改我近期如此精心撰写的内容是不可能的。而且，如果我试图认真回应这些重要的批评，我就不得不大幅扩展这一节，以至于破坏我整篇文章的平衡。因此，我未作改动，但在文末的注释中简要说明了我的批评者提出的主要观点。
—— G. H. H. , 1940 年 7 月 18 日
1
对于一个职业数学家来说，发现自己正在写关于数学的文章，这是一种忧郁的经历。数学家的职责是做些事情，证明新的定理，为数学添砖加瓦，而不是谈论他自己或其他数学家做了什么。政治家鄙视政论家，画家鄙视艺术评论家，而生理学家、物理学家或数学家通常也有类似的感觉：没有比创造者对解释者的鄙视更深刻，或者总体上更合理的了。阐述、批评、鉴赏，那是二流头脑的工作。
我记得有一次在与豪斯曼的几次严肃谈话中，我们曾争论过这一点。豪斯曼在其莱斯利·斯蒂芬讲座《诗的名称与本质》中，非常坚决地否认自己是“批评家”；但他否认的方式在我看来异常古怪，并且他对文学批评表达了一种令我震惊和反感的钦佩。
他以二十二年前就职演讲中的一段引文开始——
文学批评的才能是否是上天宝库中最好的礼物，我不敢说；但上天似乎是这么认为的，因为这无疑是它最吝啬赐予的天赋。演说家和诗人……如果与黑莓相比是稀有的，那么也比哈雷彗星的回归更常见：文学批评家则更为罕见……
他接着说——
在这二十二年里，我在某些方面有所进步，在另一些方面有所退步，但我并没有进步到成为一名文学批评家，也没有退步到幻想自己已经成为一名文学批评家。
在我看来，一位伟大的学者和一位优秀的诗人这样写是令人遗憾的，几周后在学院餐厅与他邻座时，我便直言不讳地表达了我的看法。他所说的话真的希望别人非常严肃地对待吗？最好的批评家的一生在他看来真的能与学者和诗人的一生相提并论吗？我们整个晚餐都在争论这些问题，我想最终他同意了我的观点。我不能显得在一位无法再反驳我的人面前取得了辩论上的胜利，但对于第一个问题，他最终的回答是“也许不完全是”，对于第二个问题，则是“可能不是”。
豪斯曼的感受或许有些不确定，我也不想声称他站在我这边；但科学家的感受是毫无疑问的，我完全认同他们。因此，如果我发现自己写的不是数学，而是“关于”数学的文章，那就是一种软弱的自白，年轻而更有活力的数学家们理应为此鄙视或怜悯我。我写关于数学的文章，是因为像其他任何过了六十岁的数学家一样，我不再拥有继续有效从事我本职工作所需的思维敏锐、精力或耐心。
2
我打算为数学作一番辩护；也许有人会告诉我，数学根本不需要辩护，因为无论出于好坏何种理由，如今几乎没有哪门学科比数学更被普遍认为是既有益又值得称赞的了。这也许是真的：事实上，自从爱因斯坦取得了轰动性的成就以来，天文学和原子物理学可能是仅有的在公众评价中地位更高的科学。数学家现在不必认为自己处于守势。他不必面对布拉德利在《现象与实在》导言中为形而上学所作的精彩辩护中所描述的那种反对。
布拉德利说，形而上学家会被告知，“形而上学的知识是完全不可能的”，或者“即使在某种程度上可能，它也几乎算不上有价值的知识”。他会听到，“同样的问题，同样的争论，同样的彻底失败。为什么不放弃它，走出来呢？难道没有其他值得你努力的事情吗？”没有人会愚蠢到用这种语言来谈论数学。数学真理的体量是显而易见且令人印象深刻的；它的实际应用，如桥梁、蒸汽机和发电机，即使是最迟钝的想象力也能感受到。公众不需要被说服数学中蕴含着某些东西。
所有这些在某种程度上对数学家来说是非常令人欣慰的，但一个真正的数学家几乎不可能对此感到满足。任何真正的数学家都必须感到，数学的真正价值并不在于这些粗浅的成就，数学的公众声誉很大程度上是基于无知和混淆，因此有必要进行更理性的辩护。无论如何，我倾向于尝试进行一次这样的辩护。这应该比布拉德利艰难的辩护简单得多。
那么，我要问，为什么认真研究数学是真正值得的？数学家一生的恰当理由是什么？我的回答，在很大程度上，会是一个数学家通常会给出的回答：我认为这是值得的，有充分的理由。但我应该马上说明，我对数学的辩护将是对我自己的辩护，我的辩解在某种程度上必然是自负的。如果我认为自己是数学领域的失败者之一，我就不会认为为我的学科辩护是值得的。
这种自负在某种程度上是不可避免的，而且我不认为它真的需要辩解。伟大的工作不是由“谦逊”的人完成的。例如，对于任何学科的教授来说，首要职责之一就是稍微夸大其学科的重要性以及他本人在其中的重要性。一个总是问“我做的事情值得吗？”和“我是做这件事的合适人选吗？”的人，自己总是会效率低下，并且会让他人泄气。他必须稍微闭上眼睛，对他的学科和他自己多想一些，超出它们应得的程度。这并不太难：更难的是不要因为闭眼太紧而使他的学科和他自己变得可笑。
3
一个人若要为自己的存在和行为辩护，就必须区分两个不同的问题。第一个问题是他所做的工作是否值得做；第二个问题是，无论其价值如何，他为什么要做这件事。第一个问题往往非常困难，答案也非常令人沮丧，但大多数人即使在这种情况下也会发现第二个问题足够容易。如果他们诚实，他们的答案通常会采取两种形式中的一种或另一种；而第二种形式仅仅是第一种形式的一个更谦逊的变体，第一种形式是我们唯一需要认真考虑的答案。
(1) “我做我所做的事，因为这是我唯一能做得好的事情。我是一名律师，或者一名股票经纪人，或者一名职业板球运动员，因为我对那份特定的工作有真正的天赋。我是一名律师，因为我口齿伶行，对法律的精妙之处感兴趣；我是一名股票经纪人，因为我对市场的判断迅速而准确；我是一名职业板球运动员，因为我击球异常出色。我同意，成为一名诗人或数学家可能会更好，但不幸的是，我对这些追求没有天赋。”
我并不是说这是大多数人都能提出的辩护，因为大多数人根本做不好任何事情。但是，当这种辩护可以不显得荒谬地提出时，它是无懈可击的，而有相当一部分少数人可以做到：也许百分之五甚至百分之十的人可以把某件事做得相当好。能够把某件事做得非常好的人是极少数，而能够把两件事都做得好的人数则可以忽略不计。如果一个人有任何真正的天赋，他应该准备好做出几乎任何牺牲，以便将其充分培养。
这一观点得到了约翰逊博士的赞同。
当我告诉他我曾去看过（与他同名的）约翰逊骑三匹马时，他说：“先生，这样的人应该受到鼓励，因为他的表演展示了人类能力的极限……”
同样，他也会为登山者、横渡海峡的游泳者和蒙眼棋手喝彩。就我个人而言，我完全赞同所有这些追求卓越成就的尝试。我甚至对魔术师和腹语表演者也抱有一些同情；当阿廖欣和布拉德曼试图打破纪录时，如果他们失败了，我会感到非常失望。在这方面，约翰逊博士和我都与公众的看法一致。正如 W. J. 特纳所说的那样真实，只有那些（带有贬义的）“高雅之士”才不欣赏“真正的佼佼者”。
我们当然必须考虑到不同活动之间价值的差异。我宁愿成为一个小说家或画家，也不愿成为一个同等级别的政治家；有许多通往名望的道路，我们大多数人会认为它们是积极有害的而加以拒绝。然而，这种价值差异很少会影响一个人对职业的选择，这种选择几乎总是由其天生能力的局限性所决定。诗歌比板球更有价值，但如果布拉德曼牺牲他的板球去写二流的次要诗歌（而且我想他也不太可能做得更好），那他就是个傻瓜。如果板球不那么至高无上，而诗歌更好一些，那么选择可能会更困难：我不知道我宁愿成为维克多·特伦珀还是鲁珀特·布鲁克。幸运的是，这种两难境地非常罕见。
我或许可以补充一点，这种情况尤其不太可能出现在数学家身上。人们通常会相当严重地夸大数学家与其他人的思维过程之间的差异，但不可否认的是，数学天赋是最专业化的天赋之一，而且数学家作为一个群体，在一般能力或多才多艺方面并不特别突出。如果一个人在任何意义上都是一个真正的数学家，那么他的数学水平十有八九会比他能做的任何其他事情都要好得多，如果他为了在其他领域做不出色的工作而放弃任何一个不错的发挥自己唯一才能的机会，那他就是愚蠢的。这样的牺牲只能用经济上的必要性或年龄来辩解。
4
我最好在这里谈谈年龄问题，因为它对数学家尤其重要。任何数学家都不应忘记，数学，比任何其他艺术或科学都更甚，是一项年轻人的游戏。举一个相对粗浅的简单例子，当选皇家学会会员的平均年龄，数学界是最低的。我们自然可以找到更多引人注目的例证。例如，我们可以考察一下某位无疑是世界上三位最伟大数学家之一的人的职业生涯。牛顿在五十岁时放弃了数学，而在此之前很久他就已经失去了热情；他无疑在四十岁时就认识到自己最伟大的创造性时期已经过去。他最伟大的思想，流数法和万有引力定律，是在大约 1666 年，他二十四岁时产生的——“在那些日子里，我正处于发明的黄金年龄，比以往任何时候都更专注于数学和哲学”。他在将近四十岁之前（三十七岁时提出“椭圆轨道”）都有重大发现，但那之后他做的不过是润色和完善。
伽罗瓦二十一岁去世，阿贝尔二十七岁，拉马努金三十三岁，黎曼四十岁。也有一些人在晚年做出了伟大的工作；高斯关于微分几何的伟大回忆录发表时他已经五十岁了（尽管他在十年前就有了基本思想）。我不知道有哪个重大的数学进展是由一个年过五十的人开创的。如果一个成熟的人对数学失去兴趣并放弃了数学，那么无论对数学还是对他自己来说，损失都不太可能非常严重。
另一方面，收益也不太可能很可观：数学家晚年的记录并非特别鼓舞人心。牛顿做过一位相当称职的造币厂厂长（当他不与任何人争吵的时候）。潘勒韦是一位不怎么成功的法国总理。拉普拉斯的政治生涯非常不光彩，但他算不上一个公平的例子，因为他更多的是不诚实而非无能，而且从未真正“放弃”数学。很难找到一个一流数学家放弃数学并在其他任何领域取得一流成就的例子。也许有一些年轻人，如果他们坚持数学，本可以成为一流的数学家，但我从未听说过一个真正可信的例子。而所有这些都完全被我非常有限的经验所证实。我所认识的每一个真正有才华的年轻数学家都对数学忠贞不渝，这并非因为缺乏抱负，而是因为抱负过高；他们都认识到，如果说有任何地方可以通往任何有成就的生活，那就是那里。
5
还有我称之为标准辩解的“更谦逊的变体”；但我可以用寥寥数语将其打发掉。
(2) “我没有什么特别擅长的事情。我做我现在做的事，是因为它碰巧出现在我面前。我真的从来没有机会做其他任何事情。”这个辩解我也认为是结论性的。大多数人确实做不好任何事情。如果是这样，他们选择什么职业就无关紧要了，也实在没什么可多说的了。这是一个结论性的回答，但几乎不可能由一个有任何自尊心的人说出来；我可以假设我们没有人会对此感到满意。
6
是时候开始思考我在第 节提出的第一个问题了，这个问题比第二个问题难得多。数学，我以及其他数学家所理解的数学，值得去做吗？如果值得，为什么？
我又看了一遍我 1920 年在牛津大学发表的就职演讲的开头几页，那里有一个为数学辩护的提纲。它非常不充分（不到两页），而且是用一种我现在并不特别自豪的风格写成的（我想，那是我当时想象中的“牛津风格”的第一次尝试）；但我仍然觉得，无论它需要多少发展，它都包含了问题的本质。我将重述我当时所说的，作为更充分讨论的序言。
(1) 我首先强调数学的无害性——“数学研究，即使无利可图，也是一种完全无害和纯真的职业”。我将坚持这一点，但显然它需要大量的扩展和解释。
数学“无利可图”吗？在某些方面，显然并非如此；例如，它给相当多的人带来了巨大的乐趣。然而，我当时考虑的“利润”是指更狭隘的意义。数学“有用”吗？像化学和生理学等其他科学那样直接有用吗？这不是一个完全容易或没有争议的问题，我最终会说“不”，尽管一些数学家和一些局外人无疑会说“是”。数学“无害”吗？答案同样不明显，而且这个问题在某些方面我宁愿避免，因为它引发了科学对战争影响的整个问题。数学是否像化学那样显然不是无害的呢？我稍后必须回到这两个问题上来。
(2) 我接着说，“宇宙的规模是巨大的，如果我们正在浪费时间，那么浪费几个大学教师的生命也不是什么了不起的灾难”；在这里，我似乎在采取或装出我刚才所否认的过分谦卑的姿态。我确信那并非我真正的想法：我试图用一句话来表达我在第 节中用更长篇幅所说的内容。我当时假设我们这些教师确实有我们的小小才能，如果我们尽最大努力进一步培养它们，我们几乎不可能是错的。
(3) 最后（在我现在看来是一些相当痛苦的修辞性句子中），我强调了数学成就的永恒性——
我们所做的事情可能很小，但它具有某种永恒的特性；而创造出任何一点点具有永恒价值的东西，无论是一首诗还是一条几何定理，都是绝大多数人能力之外的事情。
还有——
在这个古代研究与现代研究冲突的时代，对于一门并非始于毕达哥拉斯，也不会终于爱因斯坦，而是所有学科中最古老也是最年轻的学科，肯定有其可取之处。
所有这些都是“修辞”；但其内容在我看来仍然真实可信，我可以立即加以扩展，而不会影响我尚未解决的任何其他问题。
我将假设我正在为那些充满，或者过去曾经充满适当抱负精神的读者写作。一个人的首要职责，至少一个年轻人的首要职责，就是要有抱负。抱负是一种高尚的激情，可以合理地采取多种形式；阿提拉或拿破仑的抱负中也有高尚之处；但最高尚的抱负是留下一些具有永恒价值的东西——
此处，平沙之上， 海陆之间， 我当建造或书写何物 以抗夜幕降临？
告诉我铭刻何种符文 能抵挡汹涌波涛， 或设计何种堡垒， 能比我的生命更长久。
雄心壮志一直是世界上几乎所有最优秀工作的驱动力。特别是，几乎所有对人类幸福的实质性贡献都是由有抱负的人做出的。举两个著名的例子，李斯特和巴斯德没有抱负吗？或者，在更平凡的层面上，金·吉列和威廉·威利特；近代又有谁比他们对人类舒适的贡献更大呢？
生理学提供了特别好的例子，正因为它是一门如此明显“有益”的研究。我们必须警惕科学辩护者中常见的一种谬误，即认为那些工作最能造福人类的人在工作时会过多地考虑这一点，例如，生理学家拥有特别高尚的灵魂。生理学家或许会乐于记住他的工作将造福人类，但为其提供力量和灵感的动机与古典学者或数学家的动机并无区别。
有许多备受尊敬的动机可以引导人们从事研究，但其中有三个比其余的更为重要。第一个（没有它，其余的都将一事无成）是求知欲，即了解真相的渴望。其次是职业自豪感，即对自己表现满意的渴望，以及任何有自尊心的工匠在作品配不上自己才能时所感到的羞愧。最后是抱负，即对声誉的渴望，以及声誉所带来的地位，甚至是权力或金钱。当你完成工作后，感觉到自己增进了他人的幸福或减轻了他人的痛苦，这可能很好，但这不会是你做这件事的原因。因此，如果一个数学家、一个化学家，甚至一个生理学家告诉我，他工作的驱动力是造福人类的愿望，那么我是不会相信他的（即使我相信了，我也不会因此更看好他）。他的主要动机是我所陈述的那些，其中，当然，没有任何正派的人需要感到羞愧的东西。
8
如果求知欲、职业自豪感和抱负是研究的主要激励因素，那么毫无疑问，没有人比数学家更有机会满足它们。他的学科是所有学科中最奇特的——没有任何学科的真理会玩弄如此古怪的把戏。它拥有最复杂、最迷人的技巧，并为展示纯粹的专业技能提供了无与伦比的机会。最后，正如历史充分证明的那样，数学成就，无论其内在价值如何，都是所有成就中最持久的。
即使在半历史文明中，我们也能看到这一点。巴比伦和亚述文明已经消亡；汉谟拉比、萨尔贡和尼布甲尼撒都成了空洞的名字；然而巴比伦数学仍然引人入胜，巴比伦的六十进制仍然在天文学中使用。但当然，关键的例子是希腊人。
希腊人是第一批至今对我们来说仍然“真实”的数学家。东方数学可能是一种有趣的奇闻，但希腊数学才是真正的数学。希腊人首先说了一种现代数学家能够理解的语言：正如李特尔伍德曾经对我说的那样，他们不是聪明的中学生或“奖学金候选人”，而是“另一所学院的院士”。因此，希腊数学是“永恒的”，甚至比希腊文学更永恒。当埃斯库罗斯被遗忘时，阿基米德仍将被铭记，因为语言会消亡，而数学思想不会。“不朽”可能是一个愚蠢的词，但数学家或许最有机会获得它所可能意味着的任何东西。
他也不必过分担心未来会对他不公。不朽往往是荒谬或残酷的：我们中很少有人会选择成为奥格、亚拿尼亚或迦流。即使在数学领域，历史有时也会玩弄奇怪的把戏；罗尔在初等微积分教科书中出现，仿佛他曾是像牛顿一样的数学家；法雷之所以不朽，是因为他未能理解哈洛斯在十四年前完美证明的一个定理；五个值得尊敬的挪威人的名字仍然记载在阿贝尔的传记中，仅仅因为他们以牺牲国家最伟大人物为代价，尽职尽责地犯下了一件愚蠢的、符合良心的行为。但总的来说，科学史是公平的，这在数学中尤其如此。没有其他学科有如此清晰或一致公认的标准，被记住的人几乎总是那些值得记住的人。数学声誉，如果你有钱购买它，是最稳健和最稳定的投资之一。
9
所有这些对大学教师，尤其是数学教授来说，都是非常令人欣慰的。律师、政治家或商人有时会暗示，学术生涯主要是由那些主要关心舒适和保障的谨慎和没有野心的人所寻求的。这种指责完全是错误的。大学教师放弃了一些东西，特别是赚大钱的机会——教授一年很难赚到 2000 英镑；而终身教职的保障自然是使这种特殊的放弃变得容易的考虑因素之一。这并不是豪斯曼会拒绝成为西蒙勋爵或比弗布鲁克勋爵的原因。他会拒绝他们的职业生涯，因为他的抱负，因为他会鄙视成为一个二十年后就被遗忘的人。
然而，感到拥有所有这些优势，却可能失败，这是多么痛苦啊。我记得伯特兰·罗素曾告诉我一个可怕的梦。那是在公元 2100 年左右，他在大学图书馆的顶层。一个图书馆助理正推着一个巨大的桶在书架间走动，取下书，瞥一眼，然后把它们放回书架，或者扔进桶里。最后，他走到三大卷书前，罗素认出那是《数学原理》仅存的一套。他取下一卷，翻了几页，似乎对那些奇怪的符号困惑了一会儿，然后合上书卷，在手里掂了掂，犹豫了一下……
10
数学家，如同画家或诗人一样，是模式的创造者。如果他的模式比他们的更持久，那是因为它们是由思想构成的。画家用形状和颜色创造模式，诗人用文字。一幅画可能体现一种“思想”，但这种思想通常是平庸且不重要的。在诗歌中，思想的作用要大得多；但是，正如豪斯曼所坚持的那样，诗歌中思想的重要性通常被夸大了：“我无法让自己相信存在所谓的诗歌思想。诗歌不是所说的内容，而是一种说法。”
波涛汹涌的粗犷大海中所有的水
也洗不掉受膏国王身上的香膏。
诗句还能更好吗？思想还能同时更陈腐、更虚假吗？思想的贫乏似乎几乎不影响文字模式的美。另一方面，数学家除了思想之外没有其他材料可用，因此他的模式可能会更持久，因为思想比文字更耐时间的磨损。
数学家的模式，如同画家或诗人的模式一样，必须是美的；思想如同颜色或文字一样，必须和谐地组合在一起。美是首要的检验标准：世界上没有丑陋数学的永久位置。在这里，我必须处理一个仍然普遍存在的误解（尽管现在可能比二十年前少了很多），怀特海称之为“文学迷信”，即认为对数学的审美欣赏是“每一代中少数怪人所特有的癖好”。
现在很难找到一个对数学的审美吸引力完全不敏感的受过教育的人。定义数学之美可能非常困难，但任何类型的美都是如此——我们可能不太清楚一首美丽的诗是什么意思，但这并不妨碍我们在读到它时认出它。即使是霍格本教授，他不惜一切代价试图最小化审美因素在数学中的重要性，也不敢否认其真实性。“当然，有些人对数学抱有一种冷漠的、非个人化的吸引力……数学的审美吸引力对少数被选中的人来说可能是非常真实的。”但他暗示，他们是“少数”，他们感觉“冷漠”（而且他们确实是相当可笑的人，生活在愚蠢的小大学城里，与广阔天地的新鲜空气隔绝）。在这方面，他只是在呼应怀特海的“文学迷信”。
事实上，很少有比数学更“受欢迎”的学科了。大多数人对数学都有一些欣赏，就像大多数人都能欣赏一首悦耳的曲子一样；而且，真正对数学感兴趣的人可能比对音乐感兴趣的人更多。表面现象似乎相反，但有简单的解释。音乐可以用来激发群体情感，而数学不能；而且音乐上的无能被（无疑是正确地）认为是轻微可耻的，而大多数人对数学这个名字如此恐惧，以至于他们会非常自然地夸大自己的数学愚笨。
稍加思索就足以揭示“文学迷信”的荒谬性。每个文明国家都有大量的国际象棋棋手——在俄罗斯，几乎是整个受过教育的人口；每个棋手都能识别和欣赏一局“优美”的棋局或一个“优美”的棋题。然而，一个棋题仅仅是纯数学的练习（一局棋不完全是，因为心理学也起作用），每个称一个棋题“优美”的人都在赞美数学之美，即使它是一种相对低级的美。棋题是数学的赞美诗。
我们可以从桥牌中，或者更进一步，从通俗报纸的益智专栏中，在更低的层次上，但面向更广泛的公众，学到同样的道理。它们几乎所有的巨大受欢迎程度都是对初等数学吸引力的致敬，而像杜德耐或“卡利班”这样更好的谜题制作者，几乎不使用其他任何东西。他们了解自己的业务：公众想要的是一点智力上的“刺激”，而没有什么东西能像数学那样带来这种刺激。
我或许可以补充一点，世界上没有任何东西能像发现或重新发现一个真正的数学定理那样，让即使是名人（以及那些对数学说过相当贬低言辞的人）也如此高兴。赫伯特·斯宾塞在他的自传中重新发表了一个关于圆的定理，那是他在二十岁时证明的（他不知道柏拉图在两千多年前就已经证明了它）。索迪教授是一个更近期、更引人注目的例子（但他的定理确实是他自己的）。
11
国际象棋棋题是真正的数学，但在某种程度上是“琐碎的”数学。无论其多么巧妙复杂，无论其走法多么新颖出人意料，它都缺少一些本质的东西。国际象棋棋题是不重要的。最好的数学既严肃又美丽——如果你愿意，也可以说是“重要的”，但这个词非常模棱两可，“严肃”更能表达我的意思。
我不是在考虑数学的“实际”后果。我稍后必须回到这个问题上来：目前我只想说，如果一个国际象棋棋题在粗俗的意义上是“无用的”，那么对于大多数最好的数学来说也是如此；数学中很少一部分是实际有用的，而那少部分又相对枯燥。“严肃性”一个数学定理的意义，不在于它的实际后果，这些后果通常可以忽略不计，而在于它所连接的数学思想的重要性。我们可以粗略地说，如果一个数学思想能够以一种自然而富有启发性的方式与大量复杂的其他数学思想联系起来，那么这个数学思想就是“重要的”。因此，一个严肃的数学定理，一个连接重要思想的定理，很可能导致数学本身甚至其他科学的重大进展。没有一个国际象棋棋题曾影响过科学思想的总体发展：毕达哥拉斯、牛顿、爱因斯坦在他们的时代改变了科学思想的整个方向。
当然，一个定理的严肃性并不在于它的结果，结果仅仅是其严肃性的证据。
莎士比亚对英语语言的发展产生了巨大影响，奥特韦则几乎没有影响，但这并不是莎士比亚是更好诗人的原因。他是更好的诗人，因为他写出了更好的诗歌。国际象棋棋题的低劣，就像奥特韦诗歌的低劣一样，不在于其结果，而在于其内容。
还有一点，我将很快略过，不是因为它不重要，而是因为它很困难，而且我没有资格进行任何严肃的美学讨论。数学定理的美在很大程度上取决于其严肃性，就像在诗歌中，一行诗的美在某种程度上也可能取决于它所包含的思想的重要性。我引用了莎士比亚的两行诗作为文字模式纯粹之美的例子，但是
人生苦热症后他安睡了
似乎更美。模式同样精巧，在这种情况下，思想具有重要意义，论点也成立，因此我们的情感被更深刻地触动。即使在诗歌中，思想对模式也很重要，在数学中自然更是如此；但我不能试图认真地论证这个问题。
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现在应该清楚了，如果我们想取得任何进展，我必须举出“真正的”数学定理的例子，即每个数学家都会承认是一流的定理。而在这里，我受到了写作限制的极大束缚。一方面，我的例子必须非常简单，对于没有专业数学知识的读者来说是可以理解的；不需要复杂的初步解释；读者必须能够理解证明和陈述。这些条件排除了，例如，数论中许多最美丽的定理，如费马的“两平方”定理或二次互反律。另一方面，我的例子应该取自“真正的”数学，即职业数学家从事的数学；而这个条件排除了许多相对容易理解但涉及逻辑和数学哲学的内容。
我最好还是回到古希腊。我将陈述并证明两个古希腊数学中的著名定理。它们是“简单”的定理，无论在思想上还是在执行上都很简单，但毫无疑问它们都是最高级别的定理。每一个都像刚发现时一样新鲜和重要——两千年的时间没有在它们任何一个身上留下丝毫皱纹。最后，任何聪明的读者，无论其数学基础多么薄弱，都可以在一小时内掌握它们的陈述和证明。
- 第一个是欧几里得3 对素数无限性的证明。
素数是指那些不能分解为更小因数4的数字 (A) 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29,…。因此 37 和 317 是素数。素数是构成所有数字（通过乘法）的材料：因此 。每个本身不是素数的数字至少能被一个素数整除（通常，当然，是被几个素数整除）。我们必须证明素数有无限多个，也就是说，序列 (A) 永远不会结束。
让我们假设它确实结束了，并且 是完整的序列（因此 是最大的素数）；然后让我们在这个假设下，考虑由公式定义的数
很明显， 不能被 中的任何一个整除；因为它被这些数中的任何一个除时都余 1。但是，如果它本身不是素数，它就能被某个素数整除，因此存在一个大于它们任何一个的素数（这个素数可能是 本身）。这与我们的假设，即没有大于 的素数相矛盾；因此这个假设是错误的。
证明采用归谬法，而欧几里得如此钟爱的归谬法，是数学家最精良的武器之一。它比任何象棋开局策略都要精妙得多：象棋棋手可能会牺牲一个兵甚至一个棋子，但数学家提供的是整个棋局。
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- 我的第二个例子是毕达哥拉斯6 关于 “无理性”的证明。一个“有理数”是分数 ，其中 和 是整数：我们可以假设 和 没有公因数，因为如果它们有，我们可以约去它。说“ 是无理数”仅仅是说 2 不能表示为 的形式的另一种说法；这与说方程
不能被没有公因数的整数 和 满足是相同的。这是一个纯算术定理，它不需要任何“无理数”的知识，也不依赖于任何关于其性质的理论。
我们再次采用归谬法；我们假设 (B) 为真， 和 是没有公因数的整数。由 (B) 可知 是偶数（因为 能被 2 整除），因此 也是偶数（因为奇数的平方是奇数）。如果 是偶数，那么
© 对于某个整数 ；因此
或
因此 是偶数，所以（出于同样的原因） 也是偶数。也就是说， 和 都是偶数，因此有公因数 2。这与我们的假设相矛盾，因此假设是错误的。
从毕达哥拉斯定理可以得出，正方形的对角线与边长是不可通约的（它们的比率不是有理数，不存在一个单位使得两者都是它的整数倍）。因为如果我们以边长为我们的长度单位，对角线的长度为 ，那么，根据一个也非常熟悉且同样归功于毕达哥拉斯的定理，
所以 不可能是一个有理数。
我可以从数论中引用任意数量的优美定理，其含义任何人都能理解。例如，有所谓的“算术基本定理”，即任何整数只能以一种方式分解为素数的乘积。因此 ，没有其他分解方式；不可能 或者 （我们无需计算乘积就能看出）。这个定理，顾名思义，是高等算术的基础；但其证明，虽然不“难”，却需要一定的铺垫，并且可能会让非数学读者感到乏味。
另一个著名而美丽的定理是费马的“两平方和”定理。素数（如果我们忽略特殊的素数 2）可以分为两类；一类是 5, 13, 17, 29, 37, 41,… 这些除以 4 余 1 的素数，另一类是 3, 7, 11, 19, 23, 31,… 这些除以 4 余 3 的素数。第一类的所有素数，以及第二类的所有素数都不能表示为两个整数平方的和：因此
但 3、7、11 和 19 不能用这种方式表示（读者可以尝试验证）。这就是费马定理，它被非常公正地列为算术中最优秀的定理之一。不幸的是，除了相当专业的数学家之外，没有人能够理解它的证明。
在“集合论”（Mengenlehre）中也有美丽的定理，例如康托尔的连续统“不可数性”定理。这里恰恰相反的困难。一旦掌握了语言，证明就足够简单了，但在定理的意义变得清晰之前，需要大量的解释。所以我不会尝试给出更多的例子。我给出的那些是试金石，一个不能欣赏它们的读者也不太可能欣赏数学中的任何东西。
我说过数学家是思想模式的创造者，美和严肃性是他模式的评判标准。我几乎不相信任何理解了这两个定理的人会否认它们通过了这些检验。如果我们将它们与杜德耐最巧妙的谜题，或该艺术大师们创作的最精美的国际象棋棋局相比，它们在两方面的优越性都显而易见：存在着明显的等级差异。它们更严肃，也更美丽：我们能否更精确地定义它们的优越性何在？
首先，数学定理在严肃性方面的优越性是显而易见且压倒性的。国际象棋棋题是一系列巧妙但非常有限的思想的产物，这些思想彼此之间并没有根本性的不同，并且没有外部影响。即使国际象棋从未被发明，我们也会以同样的方式思考，而欧几里得和毕达哥拉斯的定理则深刻地影响了思想，甚至在数学之外也是如此。
因此，欧几里得定理对于整个算术结构至关重要。素数是我们构建算术的原材料，而欧几里得定理向我们保证我们有足够的材料来完成这项任务。但毕达哥拉斯定理的应用更广泛，并提供了更好的文本。
我们应该首先注意到，毕达哥拉斯的论证能够进行深远的推广，并且几乎不需要改变原则就可以应用于非常广泛的“无理数”类别。我们可以非常类似地证明（正如泰阿泰德似乎已经做到的那样）
是无理数，或者（超越泰阿泰德） 和 是无理数8。
欧几里得定理告诉我们，我们有充足的材料来构建一个连贯的整数算术体系。毕达哥拉斯定理及其推广告诉我们，当我们构建了这个算术体系后，它将不足以满足我们的需求，因为会有许多引起我们注意的量，而这个体系将无法测量它们：正方形的对角线仅仅是最明显的例子。这一发现的深远重要性立即被古希腊数学家所认识。他们最初假设（我想是根据“常识”的“自然”指示）所有同类量都是可通约的，例如，任何两个长度都是某个共同单位的倍数，并且他们在此假设的基础上构建了一个比例理论。毕达哥拉斯的发现暴露了这个基础的不稳固性，并导致了欧多克索斯更为深刻的理论的构建，该理论阐述在《几何原本》的第五卷中，并被许多现代数学家视为古希腊数学最伟大的成就。该理论在精神上惊人地现代，可以被视为现代无理数理论的开端，该理论彻底改变了数学分析，并对近代哲学产生了很大影响。
那么，这两个定理的“严肃性”是毋庸置疑的。因此，更值得注意的是，这两个定理都没有丝毫的“实际”重要性。在实际应用中，我们只关心相对较小的数字；只有恒星天文学和原子物理学处理“大”数字，而它们目前几乎没有比最抽象的纯数学更多的实际重要性。我不知道工程师曾经使用过的最高精度是多少——如果我们说十位有效数字，那我们就非常慷慨了。那么
3.14159265 ( 精确到小数点后八位的值) 是两个十位数之比 。
小于 1,000,000,000 的素数有 50,847,478 个：这对工程师来说已经足够了，没有其余的素数他也能过得很好。欧几里得定理就到此为止；至于毕达哥拉斯定理，很明显无理数对工程师来说毫无意义，因为他只关心近似值，而所有近似值都是有理数。
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一个“严肃”的定理是一个包含“重要”思想的定理，我想我应该更仔细地分析一下使数学思想具有重要性的那些特质。这非常困难，而且我所能给出的任何分析都不太可能有太大价值。当我们看到一个“重要”的思想时，我们能够认出它，就像我们能认出我那两个标准定理中出现的思想一样；但是这种识别能力需要高度的数学素养，以及那种只有在与数学思想相伴多年后才能获得的熟悉感。所以我必须尝试某种分析；并且应该能够做出一种分析，无论多么不充分，只要它能自圆其说并且易于理解就行。至少有两件事似乎是必不可少的，即一定的普遍性和一定的深度；但是这两种特质都不容易精确定义。
一个重要的数学思想，一个严肃的数学定理，应该在某种意义上是“普遍的”，例如：这个思想应该构成许多数学结构的组成部分，用于证明许多不同类型的定理。这个定理，即使最初（像毕达哥拉斯定理那样）是以一种非常特殊的形式陈述的，也应该能够进行相当大的推广，并且是同类定理中的典型。证明所揭示的关系应该能够连接许多不同的数学思想。所有这些都非常模糊，并且有许多保留意见。但是很容易看出，当一个定理明显缺乏这些特质时，它不太可能是严肃的；我们只需要从算术中比比皆是的孤立奇闻中举例即可。我几乎是随机地从劳斯·鲍尔的《数学娱乐》中选取了两个例子。
(a) 8712 和 9801 是仅有的四个数字，它们是其“倒序数”的整数倍：
并且在一万以下没有其他数字具有此属性。
(b) （除1之外）只有四个数是其各位数字立方和，即：
这些都是些古怪的事实，非常适合益智专栏，并且可能会逗乐业余爱好者，但其中并没有什么特别吸引数学家的东西。证明既不困难也不有趣——只是有点乏味。这些定理并不严肃；很明显，一个原因（尽管可能不是最重要的原因）是陈述和证明都极端特殊，无法进行任何有意义的推广。
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“普遍性”是一个模棱两可且相当危险的词，我们必须小心，不要让它过多地主导我们的讨论。它在数学和关于数学的著作中都有多种含义，其中有一种含义尤其重要，逻辑学家们非常恰当地强调了它，但在这里却完全不相干。在这种意义上，这是很容易定义的，所有数学定理都是同样且完全普遍的。
怀特海10说：“数学的确定性依赖于其完全抽象的普遍性。”当我们断言 时，我们是在断言三组“事物”之间的关系；而这些“事物”不是苹果或便士，也不是任何一种特定的事物，而仅仅是事物，“任何事物”。这个陈述的意义完全独立于这些群体成员的个体性。所有数学“对象”或“实体”或“关系”，例如 ，以及所有包含它们的数学命题，在完全抽象的意义上都是完全普遍的。事实上，怀特海的一个词是多余的，因为在这种意义上，普遍性就是抽象性。
这个词的这种含义很重要，逻辑学家强调它是完全正确的，因为它体现了一个许多本应更清楚的人却容易忘记的真理。例如，天文学家或物理学家声称他们找到了一个“数学证明”，证明物理宇宙必须以某种特定的方式运行，这是很常见的。所有这些说法，如果按字面意思解释，都是严格意义上的胡说八道。不可能用数学方法证明明天会有日食，因为日食和其他物理现象不属于数学的抽象世界；我想，所有天文学家在被追问时都会承认这一点，无论他们正确预测了多少次日食。
很明显，我们现在关心的不是这种“普遍性”。我们正在寻找一个数学定理与另一个数学定理之间普遍性的差异，而在怀特海的意义上，所有定理都是同样普遍的。因此，第 节中“琐碎”的定理 和 与欧几里得和毕达哥拉斯的定理一样“抽象”或“普遍”，国际象棋棋题也是如此。棋子是白色还是黑色，是红色还是绿色，或者是否根本没有实体的“棋子”，这对国际象棋棋题都没有影响；专家可以轻易地在头脑中记住它，而我们则必须借助棋盘费力地重建它，这都是同一个问题。棋盘和棋子仅仅是激发我们迟钝想象力的工具，对于问题来说，它们并不比黑板和粉笔对于数学讲座中的定理更重要。
我们现在寻找的不是所有数学定理共有的这种普遍性，而是我在第 节中试图粗略描述的那种更微妙、更难以捉摸的普遍性。而且我们必须小心，不要过分强调即使是这种普遍性（我认为像怀特海这样的逻辑学家倾向于这样做）。现代数学的杰出成就并非仅仅是“将精妙的概括层层叠加”11。任何高级定理都必须具有一定程度的普遍性，但过多的普遍性不可避免地会导致平淡无奇。“万物皆为其所是，而非他物”，事物之间的差异与它们的相似之处同样有趣。我们选择朋友并非因为他们体现了人性的所有美好品质，而是因为他们就是他们那样的人。数学也是如此；过于普遍适用于太多对象的属性几乎不可能是令人兴奋的，数学思想如果缺乏足够的个性也会变得模糊不清。至少在这一点上，我可以引用怀特海的话来支持我的观点：“受限于幸运的特殊性的大概括，才是富有成果的概念12。”
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我对一个重要思想要求的第二个特质是深度，这更难定义。它与难度有关；“更深”的思想通常更难掌握：但这完全不是一回事。毕达哥拉斯定理及其推广所依据的思想相当深刻，但现在没有数学家会觉得它们困难。另一方面，一个定理可能本质上是肤浅的，但却相当难以证明（例如许多“丢番图”定理，即关于整数方程解的定理）。
数学思想似乎以某种方式分层排列，每一层中的思想通过复杂的相互关系以及与上下层思想的关系联系在一起。层次越低，思想就越深刻（通常也越困难）。因此，“无理数”的思想比整数的思想更深刻；毕达哥拉斯定理因此比欧几里得定理更深刻。
让我们把注意力集中在整数之间的关系，或者某个特定层次中的其他对象组之间的关系上。那么，可能会发生这样的情况：这些关系中的一个可以被完全理解，例如，我们可以识别并证明整数的某个性质，而无需了解较低层次的内容。因此，我们仅通过考虑整数的性质就证明了欧几里得定理。但是，也有许多关于整数的定理，如果我们不深入挖掘并考虑下面发生的事情，我们就无法正确理解，更不用说证明了。
在素数理论中很容易找到例子。欧几里得定理非常重要，但并不非常深刻：我们可以证明有无限多个素数，而无需使用比“可除性”更深的概念。但是一旦我们知道了这个问题的答案，新的问题就会随之而来。素数有无限多个，但是这个无限是如何分布的呢？给定一个大数 ，比如 或 ，13 小于 的素数大约有多少个呢？14 当我们问这些问题时，我们发现自己处于不同的境地。我们可以相当准确地回答它们，但只能通过更深入地挖掘，暂时把整数置于我们之上，并使用现代函数论最强大的武器。因此，回答我们问题的定理（即所谓的“素数定理”）是一个比欧几里得定理甚至毕达哥拉斯定理更深刻的定理。
我可以举出很多例子，但“深度”这个概念即使对于能够识别它的数学家来说也是难以捉摸的，我几乎不能指望在这里能说出更多对其他读者有帮助的话。
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从第 节开始，我比较了“真正的数学”和国际象棋，还有一个问题尚待解决。我们现在可以认为，在实质、严肃性、重要性方面，真正的数学定理的优势是压倒性的。对于受过训练的智力来说，它在美学方面也具有巨大优势，这一点几乎同样明显；但是这种优势更难定义或定位，因为国际象棋棋题的主要缺陷显然是其“琐碎性”，而这方面的对比与任何更纯粹的美学判断相混合并干扰了它。在欧几里得或毕达哥拉斯这样的定理中，我们能区分出哪些“纯粹美学”的特质呢？我不敢多说，只谈几点零散的看法。
在这两个定理中（当然，定理包括证明），都存在着高度的意外性，同时又具有必然性和经济性。论证的形式如此奇特和令人惊讶；所使用的武器与深远的结果相比显得如此幼稚简单；但结论却无可逃避。没有细节的复杂性——每种情况下都只需要一种攻击路线；许多更困难的定理的证明也是如此，要充分理解这些定理需要相当高的技术熟练程度。我们不希望数学定理的证明中有许多“变体”：“枚举情况”实际上是数学论证中较为枯燥的形式之一。数学证明应该像一个简单而清晰的星座，而不是银河系中一个分散的星团。
国际象棋棋题也具有意外性和一定的经济性；关键在于走法必须出人意料，并且棋盘上的每一个棋子都必须发挥其作用。但其美学效果是累积的。同样至关重要的是（除非问题过于简单以至于毫无乐趣），关键走法之后必须有相当多的变化，每种变化都需要其各自的应对。“如果 P-B5 则 Kt-R6；如果……则……；如果……则……”——如果没有足够多不同的回应，效果就会大打折扣。所有这些都是相当真实的数学，并且有其优点；但这正是那种“通过枚举情况进行证明”（而且这些情况在根本上并没有深刻的不同15）的方式，而真正的数学家往往鄙视这种方式。
我倾向于认为，我可以借助于国际象棋棋手自身的感受来加强我的论点。当然，一位国际象棋大师，一位下过伟大棋局和伟大比赛的棋手，骨子里会鄙视解题家纯粹的数学艺术。他自己储备了大量的这种艺术，并且可以在紧急情况下施展出来：“如果他走了某某一步，那么我心中就有了某某制胜的组合。”但是国际象棋的“伟大博弈”主要是心理上的，是训练有素的智力与另一种智力之间的冲突，而不仅仅是一堆小型数学定理的集合。
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我必须回到我在牛津的辩护词，更仔细地审视我在第 节中推迟的一些观点。现在应该很明显，我只对作为一门创造性艺术的数学感兴趣。但是还有其他问题需要考虑，特别是数学的“效用”（或无用性）问题，关于这个问题存在很多思想上的混乱。我们还必须考虑数学是否真的像我在牛津讲座中想当然地认为的那样“无害”。
如果一门科学或艺术的发展，即使是间接地，也能增进人类的物质福祉和舒适，如果它能促进幸福（用一个粗俗而平常的方式来理解这个词），那么就可以说它是“有用的”。因此，医学和生理学是有用的，因为它们减轻痛苦；工程学是有用的，因为它帮助我们建造房屋和桥梁，从而提高生活水平（当然，工程学也会造成损害，但目前这不是问题）。现在，一些数学在这方面肯定是有用的；工程师没有相当的数学应用知识就无法完成他们的工作，数学甚至开始在生理学中找到应用。所以，这里我们有了一个为数学辩护的可能理由；它可能不是最好的，甚至不是一个特别有力的辩护，但它是我们必须审视的一个理由。数学的“更高尚”的用途，如果它们确实存在的话，即它与所有创造性艺术共享的用途，将与我们的审视无关。数学可能像诗歌或音乐一样，“促进和维持一种高尚的精神习惯”，从而增加数学家甚至其他人的幸福；但以此为理由来捍卫它，只不过是详述我已经说过的话。我们现在必须考虑的是数学的“粗浅”效用。
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所有这些似乎都很明显，但即使在这里，也常常存在很多混淆，因为最“有用”的学科通常恰恰是大多数人学习起来最没用的。拥有充足的生理学家和工程师是有用的；但生理学和工程学对普通人来说并非有用的学科（尽管它们的学习当然可以基于其他理由进行辩护）。就我个人而言，我从未发现自己处于这样一种境地：我所拥有的纯数学以外的科学知识给我带来了丝毫的好处。
事实上，科学知识对普通人的实际价值之小，其中有价值的部分之枯燥和平庸，以及其价值似乎几乎与其公认的效用成反比，这都相当令人惊讶。能相当快地进行普通算术运算是有用的（当然，那是纯数学）。懂一点法语或德语，一点历史和地理，甚至可能一点经济学，都是有用的。但是一点化学、物理学或生理学在日常生活中根本没有价值。我们知道煤气会燃烧，而无需知道其构成；当我们的汽车出故障时，我们会把它们送到修车厂；当我们的胃不舒服时，我们会去看医生或去药店。我们要么凭经验办事，要么依赖他人的专业知识。
然而，这是一个次要问题，一个教学法的问题，只对那些不得不为那些吵着要为儿子提供“有用”教育的父母提供建议的校长们感兴趣。当然，当我们说生理学有用时，我们并不是说大多数人都应该学习生理学，而是说少数专家发展生理学将会增加大多数人的舒适度。现在对我们重要的问题是，数学在多大程度上可以声称具有这种效用，哪种数学可以提出最有力的主张，以及在多大程度上，数学家所理解的数学的深入研究仅凭这一理由就能得到辩护。
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现在我将要得出的结论可能已经很清楚了；所以我将立即武断地陈述它们，然后再稍作阐述。不可否认，相当一部分初等数学——我使用“初等”这个词，是指职业数学家使用的那种意义，例如，它包括对微分和积分学有相当的应用知识——具有相当大的实用价值。这些数学部分，总的来说，相当枯燥；它们恰恰是审美价值最低的部分。“真正的”数学家所从事的“真正的”数学，即费马、欧拉、高斯、阿贝尔和黎曼的数学，几乎完全是“无用的”（这对于“应用”数学和“纯”数学都是如此）。不可能以其工作的“效用”为理由来证明任何真正的职业数学家的一生是合理的。
但在这里我必须处理一个误解。有时有人认为纯数学家以其工作的无用性为荣16，并夸耀其没有实际应用。这种指责通常基于高斯的一句不慎之言，大意是，如果数学是科学的女王，那么数论由于其至高无上的无用性，就是数学的女王——我从未能找到确切的引文。我确信高斯的这句话（如果确实是他的话）被相当粗暴地曲解了。如果数论可以用于任何实际且明显光荣的目的，如果它可以直接用于增进人类幸福或减轻人类痛苦，就像生理学甚至化学那样，那么高斯或任何其他数学家肯定都不会愚蠢到贬低或后悔这种应用。但是科学既为善也为恶服务（尤其是在战争时期）；高斯和不那么重要的数学家们都有理由庆幸至少有一门科学，而且是他们自己的科学，其与普通人类活动的疏远应该使其保持温和和纯洁。
我们必须警惕另一个误解。认为“纯”数学和“应用”数学在效用上存在巨大差异是很自然的。这是一种错觉：这两种数学之间存在明显的区别，我稍后会解释，但这几乎不影响它们的效用。
纯数学家和应用数学家之间有何不同？这是一个可以明确回答并且数学家们普遍认同的问题。我的回答绝不会有任何异端之处，但它需要一点铺垫。
我接下来的两节将带有一些温和的哲学意味。这种哲学不会深入，也不会对我的主要论点至关重要；但我将使用一些经常带有明确哲学含义的词语，如果我不解释我将如何使用它们，读者很可能会感到困惑。
我经常使用形容词“真实的”，就像我们通常在谈话中使用它一样。我说过“真实的数学”和“真实的数学家”，就像我说过“真实的诗歌”或“真实的诗人”一样，我将继续这样做。但我也会使用“实在”这个词，并且它有两种不同的含义。
首先，我将谈论“物理实在”，在这里我仍将使用这个词的通常意义。我所说的物理实在，是指物质世界，即白昼黑夜、地震日食的世界，物理科学试图描述的世界。
我几乎不认为，到目前为止，任何读者会对我的语言感到困惑，但现在我接近更困难的领域了。对我来说，我想对大多数数学家来说也是如此，存在另一种实在，我称之为“数学实在”；数学家和哲学家对数学实在的本质没有任何一致的看法。有些人认为它是“精神的”，在某种意义上是我们构建的，另一些人则认为它在我们之外并且独立于我们。一个能够对数学实在给出令人信服的解释的人，将解决形而上学中许多最困难的问题。如果他能将物理实在也纳入他的解释，他就能解决所有问题。
即使我有能力，我也不想在这里争论这些问题，但我会武断地陈述我的立场，以避免一些小的误解。我相信数学实在存在于我们之外，我们的功能是发现或观察它，而我们证明的定理，以及我们夸夸其谈地称之为我们的“创造”的定理，仅仅是我们观察的记录。这种观点，以这样或那样的形式，自柏拉图以来一直为许多声誉卓著的哲学家所持有，我将使用持有这种观点的人自然会使用的语言。不赞同这种哲学的读者可以改变语言：这对我的结论几乎没有影响。
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纯粹数学与应用数学之间的对比，或许在几何学中最为清晰。有纯粹几何学17这门科学，其中有许多几何学，如射影几何、欧几里得几何、非欧几里得几何等等。每种几何学都是一个模型，一种思想模式，其价值取决于其特定模式的趣味性和美感。它是一幅地图或图画，是许多人共同劳动的产物，是对数学实在一部分的局部和不完美的复制（然而就其所及范围而言是精确的）。但对我们现在重要的一点是，至少有一件事纯粹几何学不是其图画，那就是物理世界的时空实在。显而易见，它们不可能是，因为地震和日食不是数学概念。
这对于局外人来说可能听起来有点自相矛盾，但对于几何学家来说却是老生常谈；我也许可以通过一个例子来让它更清楚一些。假设我正在讲授某个几何体系，比如普通的欧几里得几何，我在黑板上画图来激发听众的想象力，画出直线、圆或椭圆的粗略草图。首先，很明显，我证明的定理的真实性绝不受我画图质量的影响。它们的功能仅仅是让听众理解我的意思，如果我能做到这一点，即使让最熟练的绘图员重画也没有任何好处。它们是教学插图，不是讲座真正主题的一部分。
现在让我们更进一步。我讲课的房间是物理世界的一部分，它本身也有一定的模式。对那个模式以及物理实在的一般模式的研究本身就是一门科学，我们可以称之为“物理几何学”。现在假设一个强大的发电机，或者一个巨大的引力体被引入房间。那么物理学家告诉我们，房间的几何形状改变了，它的整个物理模式发生了轻微但明确的扭曲。我证明的定理会变得错误吗？认为我给出的证明会受到任何影响，这无疑是荒谬的。这就好比认为当读者把茶洒在一页纸上时，莎士比亚的戏剧就改变了。戏剧独立于印刷它的纸张，“纯粹几何学”也独立于讲堂，或物理世界的任何其他细节。
这是纯数学家的观点。应用数学家、数学物理学家自然会持不同观点，因为他们专注于物理世界本身，物理世界也有其结构或模式。我们无法像描述纯几何那样精确地描述这种模式，但我们可以对它说一些有意义的话。我们可以描述，有时相当准确，有时非常粗略地描述其某些组成部分之间的关系，并将它们与某些纯几何体系组成部分之间的精确关系进行比较。我们或许能够在这两组关系之间找到某种相似之处，然后纯几何就会引起物理学家的兴趣；它将在某种程度上为我们提供一张“符合”物理世界“事实”的地图。几何学家向物理学家提供了一整套地图供其选择。也许某张地图比其他地图更符合事实，那么提供那张特定地图的几何学将是应用数学中最重要的几何学。我或许可以补充一点，即使是纯数学家也可能会发现他对这种几何学的欣赏加快了，因为没有哪个数学家纯粹到对物理世界完全不感兴趣；但是，只要他屈服于这种诱惑，他就会放弃他纯粹数学的立场。
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这里还有一点值得一提，物理学家可能会觉得自相矛盾，尽管这种矛盾可能比十八年前要小得多。我将用与 1922 年在英国科学促进会 A 组会议上发言时大致相同的措辞来表达。当时的听众几乎全是物理学家，因此我的发言可能带有一些挑衅性；但我仍然坚持我所说内容的实质。
我首先说，数学家和物理学家的立场之间的差异可能比通常认为的要小，在我看来，最重要的似乎是，数学家与现实的接触更为直接。这似乎是一个悖论，因为物理学家处理的通常被描述为“真实”的主题；但稍加思考就足以表明，物理学家的现实，无论它是什么，都很少或根本不具备常识本能地赋予现实的那些属性。一把椅子可能是一堆旋转的电子，或者是上帝头脑中的一个想法：这些对它的描述各有其优点，但没有一个与常识的暗示完全吻合。
我接着说，无论是物理学家还是哲学家，都从未对“物理实在”是什么，或者物理学家如何从他开始时面对的混乱的事实或感觉，过渡到他称之为“实在”的对象的构建，给出任何令人信服的解释。因此，我们不能说我们知道物理学的主题是什么；但这并不妨碍我们大致理解物理学家试图做什么。很明显，他试图将他所面临的杂乱无章的原始事实与某种明确而有序的抽象关系体系联系起来，这种体系他只能从数学中借鉴。
另一方面，数学家是在处理他自己的数学实在。正如我在第 节中解释的那样，我对这种实在持“实在论”而非“唯心论”的观点。无论如何（这是我的主要观点），这种实在论观点对于数学实在比对于物理实在更为可信，因为数学对象远比它们看起来的样子更为真实。一把椅子或一颗星星与它看起来的样子完全不同；我们越思考它，它在围绕它的感觉迷雾中轮廓就越模糊；但是 或 与感觉毫无关系，我们越仔细审视它，它的性质就越清晰地显现出来。也许现代物理学最适合某种唯心主义哲学的框架——我不相信这一点，但有一些著名的物理学家是这么说的。另一方面，纯数学在我看来是一块所有唯心主义都将在此搁浅的礁石：317 是一个素数，不是因为我们这么认为，也不是因为我们的思维方式是这样而不是那样，而是因为它就是这样，因为数学实在就是这样构建的。
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纯粹数学与应用数学之间的这些区别本身很重要，但它们与我们讨论数学的“有用性”关系不大。我在第 节中谈到了费马和其他伟大数学家的“真正的”数学，即具有永久审美价值的数学，例如最好的古希腊数学，这种数学是永恒的，因为其中最好的部分，就像最好的文学作品一样，在几千年后仍能给成千上万的人带来强烈的情感满足。这些人主要都是纯粹数学家（尽管在他们那个时代，这种区别自然远没有现在这么明显）；但我并不仅仅考虑纯粹数学。我把麦克斯韦、爱因斯坦、爱丁顿和狄拉克都算作“真正的”数学家。应用数学的伟大现代成就主要在相对论和量子力学领域，而这些学科，至少目前来看，几乎和数论一样“无用”。无论是好是坏，起作用的都是应用数学中枯燥和初等的部分，就像纯粹数学中枯燥和初等的部分一样。时间可能会改变这一切。没有人预见到矩阵、群和其他纯粹数学理论在现代物理学中的应用，也许一些“高雅的”应用数学会以同样出乎意料的方式变得“有用”；但迄今为止的证据表明，在一个学科和另一个学科中，对实际生活有用的都是那些平庸和枯燥的东西。
我记得爱丁顿曾举过一个关于“有用”科学缺乏吸引力的愉快例子。英国科学促进会在利兹召开了一次会议，人们认为会员们可能想听听科学在“重毛纺织”工业中的应用。但是为此安排的讲座和演示却相当失败。原来会员们（无论是不是利兹市民）都想娱乐一下，而“重毛纺织”根本不是一个有趣的课题。所以这些讲座的出席率非常令人失望；但是那些讲授克诺索斯古城发掘、相对论或素数理论的人，却为他们吸引的听众感到高兴。
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数学的哪些部分是有用的？
首先，是学校数学的大部分内容，算术、初等代数、初等欧几里得几何、初等微分和积分。我们必须排除一部分教给“专业人士”的内容，例如射影几何。在应用数学中，是力学基础（学校教授的电学必须归类为物理学）。
其次，大学数学中相当一部分也是有用的，即那部分真正是学校数学在技巧上更完善的发展，以及一部分更偏物理的学科，如电学和流体力学。我们还必须记住，知识储备总是一种优势，即使是最讲求实际的数学家，如果他的知识仅仅是维持他工作所必需的最低限度，也可能会严重受阻；因此，我们必须在每个标题下都增加一点内容。但我们的总体结论必须是，有用的数学是高级工程师或中等水平物理学家所需要的数学；这大致与说，没有特别审美价值的数学是同样的意思。例如，欧几里得几何之所以有用，是因为它枯燥——我们不需要平行公理、比例理论或正五边形的作图。
一个相当奇怪的结论浮现出来，那就是纯数学总体上明显比应用数学更有用。纯数学家似乎在实践方面和审美方面都占有优势。因为最有用的是技巧，而数学技巧主要是通过纯数学来传授的。
我希望我无需说明我并非试图贬低数学物理，那是一个辉煌的学科，有着巨大的问题，最优秀的想象力曾在其中驰骋。但是，一个普通的应用数学家的处境在某些方面难道不有点可悲吗？如果他想有用，他就必须以单调乏味的方式工作，即使他想达到更高境界，也无法充分发挥他的想象力。“想象的”宇宙远比这个愚蠢构建的“真实的”宇宙美丽得多；而应用数学家想象力中最优秀的大部分产物，一旦被创造出来，就必须因为它们不符合事实这个残酷但充分的理由而被拒绝。
总的结论，无疑是显而易见的。如果如我们暂时同意的那样，有用的知识是指现在或在相对不久的将来可能有助于人类物质舒适的知识，因此纯粹的智力满足是无关紧要的，那么高等数学的绝大部分是无用的。现代几何学和代数学、数论、集合论和函数论、相对论、量子力学——没有一个比另一个更能通过这个检验，也没有一个真正的数学家能以此为理由来证明其生命是合理的。如果这是最好的情况，那么阿贝尔、黎曼和庞加莱就浪费了他们的生命；他们对人类舒适的贡献微不足道，没有他们，世界也会同样幸福。
有人可能会反对说，“效用”的概念过于狭隘，我仅仅根据“幸福”或“舒适”来定义它，而忽略了数学对社会的一般“社会”影响，最近一些持不同观点的作者对此非常强调。因此，怀特海（他曾是一名数学家）谈到“数学知识对人类生活、日常工作、社会组织的巨大影响”；而霍格本（他对我和其他数学家所称的数学持有的反感，与怀特海的同情形成对比）则说：“没有数学知识，即关于大小和顺序的语法，我们就无法规划一个理性的社会，在这个社会里，人人都有闲暇，无人贫困”（以及更多类似的话）。
我实在不相信所有这些雄辩能给数学家带来多少安慰。两位作者的语言都极度夸张，而且他们都忽略了非常明显的区别。这在霍格本的情况下是很自然的，因为他承认自己不是数学家；他所说的“数学”是指他能理解的数学，也就是我所说的“学校”数学。这种数学有很多用途，我已经承认了，如果我们愿意，可以称之为“社会的”，霍格本用许多有趣的对数学发现史的呼吁来强调这一点。这正是他书的价值所在，因为它使他能够向许多从未是、也永远不会是数学家的读者阐明，数学中蕴含的东西比他们想象的要多。但他几乎不理解“真正的”数学（任何读过他关于毕达哥拉斯定理、或关于欧几里得和爱因斯坦的言论的人都能看出来），更谈不上同情它（他毫不掩饰地表现出这一点）。“真正的”数学对他来说仅仅是轻蔑怜悯的对象。
怀特海的问题不在于缺乏理解或同情；而是在他的热情中，忘记了他非常熟悉的区别。对“人类的日常工作”和“社会组织”产生这种“巨大影响”的数学，不是怀特海的数学，而是霍格本的数学。“普通人用于普通目的”的数学可以忽略不计，而经济学家或社会学家可以使用的数学几乎达不到“学术标准”。怀特海的数学可能会深刻影响天文学或物理学，对哲学的影响也相当可观——一种高层次的思考总是可能影响另一种高层次的思考——但它对其他任何事物的影响都微乎其微。它的“巨大影响”不是针对普通人，而是针对像怀特海这样的人。
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那么就有两种数学。一种是真正数学家的真正数学，另一种是我称之为“琐碎”数学的，因为找不到更好的词。琐碎数学可以用霍格本或他学派的其他作家会赞同的论点来证明其合理性，但真正的数学却没有这样的辩护，如果它能被证明合理的话，就必须像艺术一样被证明合理。这种观点丝毫没有悖论或不寻常之处，这是数学家普遍持有的观点。
我们还有一个问题需要考虑。我们已经得出结论，琐碎的数学总体上是有用的，而真正的数学总体上是无用的；琐碎的数学在某种意义上确实“做好事”，而真正的数学则不然；但我们仍然需要问，这两种数学是否会造成伤害。认为任何类型的数学在和平时期会造成很大伤害是自相矛盾的，因此我们不得不考虑数学对战争的影响。现在要完全冷静地讨论这些问题非常困难，我本想避免它们；但某种讨论似乎是不可避免的。幸运的是，它不需要很长。
对于一个真正的数学家来说，有一个令人欣慰的结论很容易得出。真正的数学对战争没有影响。至今还没有人发现数论或相对论可以用于任何战争目的，而且在很多年内似乎也不太可能有人会这样做。诚然，有一些应用数学分支，如弹道学和空气动力学，是专门为战争而发展的，并且需要相当复杂的技术：也许很难称它们为“琐碎的”，但它们中没有一个有资格被列为“真正的”。它们确实令人厌恶地丑陋和难以忍受地枯燥；即使是李特尔伍德也无法使弹道学变得体面，如果他都做不到，谁又能做到呢？所以一个真正的数学家问心无愧；没有任何东西可以抵消他工作的任何价值；数学，正如我在牛津所说，是一种“无害和纯真”的职业。
另一方面，琐碎的数学在战争中有许多应用。例如，炮兵专家和飞机设计师没有它就无法工作。而这些应用的总体效果是显而易见的：数学促进了（即使不像物理或化学那样明显）现代的、科学的、“全面”的战争。
这并不像看起来那么明显是值得遗憾的，因为关于现代科学战争存在两种截然不同的观点。第一种也是最明显的观点是，科学对战争的影响仅仅是放大了其恐怖性，既增加了必须战斗的少数人的痛苦，又将其扩展到其他阶级。这是最自然和正统的观点。但是还有一种截然不同的观点，似乎也相当站得住脚，并且霍尔丹在《卡利尼克斯》18中以极大的力量阐述了这种观点。可以认为，现代战争比科学时代之前的战争不那么可怕；炸弹可能比刺刀更仁慈；催泪瓦斯和芥子气可能是军事科学迄今为止设计的最人道的武器；而正统观点仅仅建立在松散思维的情感主义之上19。也可能有人主张（尽管这不是霍尔丹的论点之一），科学有望带来的风险均等化从长远来看是有益的；平民的生命不比士兵的生命更有价值，女人的生命也不比男人的生命更有价值；任何事情都比把野蛮行径集中在某个特定阶级上要好；简而言之，战争越早“全面爆发”越好。
我不知道这些观点中哪一个更接近真相。这是一个紧迫而动人的问题，但我不需要在这里争论。它只涉及“琐碎的”数学，那是霍格本的职责，而不是我的职责去辩护。他的数学的理由可能不只是一点点被玷污了；我的数学的理由则不受影响。
的确，还有更多话要说，因为真正的数学至少可以服务于战争中的一个目的。当世界疯狂时，数学家可能会在数学中找到一种无与伦比的慰藉。因为数学，在所有艺术和科学中，是最朴素和最遥远的，数学家应该是所有人中最容易在某个地方找到避难所的人，正如伯特兰·罗素所说，“我们至少有一种更高尚的冲动可以在那里最好地摆脱现实世界沉闷的流放。”遗憾的是，必须做出一个非常严肃的保留——他不能太老。数学不是一门沉思的学科，而是一门创造性的学科；当一个人失去了创造的力量或愿望时，他就无法从中获得多少慰藉；而这种情况对于数学家来说往往发生得相当早。这很遗憾，但在那种情况下，他无论如何也不太重要了，为他操心是愚蠢的。
29
我将以总结我的结论来结束，但会用一种更个人的方式来表达。我在开头说过，任何为自己的学科辩护的人都会发现他是在为自己辩护；我对职业数学家一生的辩护，归根结底，必然是对我自己一生的辩护。因此，这最后一节在实质上将是我自传的一个片段。
我不记得自己曾想过成为数学家以外的任何职业。我想，很明显我的特殊能力就在那方面，我从未想过要质疑长辈们的判断。我不记得小时候对数学有过任何激情，我对数学家职业的任何想法也远非高尚。我从考试和奖学金的角度看待数学：我想击败其他男孩，而这似乎是我能最果断地做到这一点的方式。
我大约十五岁时（以一种相当奇怪的方式），我的抱负发生了更明确的转变。有一本署名“艾伦·圣奥宾”20的书叫《三一学院院士》，这是一系列描写所谓的剑桥学院生活的书之一。我想它比玛丽·科雷利的大多数书都差；但如果一本书能点燃一个聪明男孩的想象力，它就几乎不可能是完全糟糕的。书中有两个英雄，一个主要英雄叫弗劳尔斯，他几乎完全是好人；另一个次要英雄，一个软弱得多的家伙，叫布朗。弗劳尔斯和布朗在大学生活中遇到了许多危险，但最糟糕的是切斯特顿21的一家赌场，由两位迷人但极其邪恶的年轻女士贝伦登姐妹经营。弗劳尔斯克服了所有这些麻烦，获得了数学荣誉学位考试第二名和古典文学最优等及格者，并自动获得了研究员职位（我想当时他本该如此）。布朗屈服了，毁了父母，酗酒，在一场雷雨中仅靠初级教务长的祈祷才从震颤性谵妄中被救了出来，费了很大劲才获得普通学位，最终成为一名传教士。这些不幸的事件并没有打破他们的友谊，当弗劳尔斯第一次在高级公共休息室喝波特酒、吃核桃时，他的思绪带着深情的怜悯飘向了布朗。
现在，弗劳尔斯是个相当正派的人（就“艾伦·圣奥宾”所能描绘的那样），但即使是我那不成熟的头脑也拒绝承认他聪明。如果他能做这些事，我为什么不能呢？特别是，高级公共休息室的最后一幕完全迷住了我，从那时起，直到我获得一个研究员职位，数学对我来说主要意味着三一学院的研究员职位。
我一到剑桥就发现，研究员职位意味着“原创工作”，但我过了很长时间才对研究形成任何明确的概念。当然，我在学校时就发现，像每个未来的数学家一样，我常常能比我的老师做得更好；即使在剑桥，我也发现，尽管频率自然低得多，我有时也能比学院的讲师做得更好。但是，即使我参加荣誉学位考试时，对于我余生所从事的学科，我实际上还是一无所知；我仍然认为数学本质上是一门“竞争性”的学科。我的眼界是洛夫教授为我打开的，他教了我几个学期，并给了我第一个关于分析的严肃概念。但我欠他的巨大恩情——毕竟，他主要是一位应用数学家——是他建议我阅读若尔当著名的《分析教程》；我永远不会忘记我读那部卓越著作时的惊讶，那是我们这一代许多数学家的最初灵感，我在阅读时第一次明白了数学的真正含义。从那时起，我以我自己的方式成为了一名真正的数学家，拥有了健全的数学抱负和对数学的真正热情。
在接下来的十年里，我写了很多东西，但几乎没有什么重要的；我能带着些许满意回忆起来的论文不超过四五篇。我职业生涯的真正危机发生在十年或十二年后，即 1911 年，当时我开始了与李特尔伍德的长期合作，以及 1913 年，当时我发现了拉马努金。从那以后，我所有最好的工作都与他们联系在一起，很明显，我与他们的交往是我一生的决定性事件。当我情绪低落，发现自己被迫听那些自负而令人厌烦的人说话时，我仍然对自己说：“好吧，我做了一件你们永远做不到的事，那就是与李特尔伍德和拉马努金在某种程度上平等地合作过。”我之所以能有非同寻常的晚熟，要归功于他们：我在四十岁出头，在牛津当教授的时候，达到了最佳状态。从那以后，我一直遭受着稳步恶化的困扰，这是老年人，尤其是老年数学家的共同命运。一个数学家在六十岁时可能仍然足够胜任，但指望他有原创思想是徒劳的。
现在很清楚，我的生命，无论其价值如何，都已经结束了，我所做的任何事情都无法明显增加或减少它的价值。做到不偏不倚非常困难，但我认为这是一次“成功”；我得到的报酬比我这种特定能力水平的人应得的要多，而不是少。我担任过一系列舒适而“体面”的职位。我在大学里枯燥的日常工作中几乎没有遇到什么麻烦。我讨厌“教学”，而且几乎没怎么教过书，我所做的教学几乎完全是指导研究；我热爱讲课，并且给非常优秀的学生讲过很多课；而且我一直有充足的闲暇时间进行研究，这是我一生中唯一伟大而持久的幸福。我发现与他人合作很容易，并且与两位杰出的数学家进行了大规模的合作；这使我能够为数学做出比我合理预期的要多得多的贡献。我和其他数学家一样，也有过失望，但没有一个太严重，也没有让我特别不开心。如果在我二十岁的时候，有人给我提供一个不好也不坏的生活，我会毫不犹豫地接受。
认为我本可以“做得更好”似乎是荒谬的。我没有语言或艺术才能，对实验科学兴趣不大。我或许可以成为一个过得去的哲学家，但不是一个非常具有原创性的哲学家。我想我或许可以成为一个好律师；但新闻业是学术生活之外我唯一有真正把握的职业。毫无疑问，如果标准是通常所说的成功，那么我成为一名数学家是正确的。
那么，如果我想要的是一种相当舒适和幸福的生活，我的选择是正确的。但是律师、股票经纪人和赌马经纪人也常常过着舒适和幸福的生活，很难看出世界因为他们的存在而变得更富有。在任何意义上，我能声称我的生活不像他们的那样徒劳无益吗？在我看来，同样只有一个可能的答案：是的，也许，但如果是这样，只有一个原因：
我从未做过任何“有用的”事情。我的任何发现都没有，也不太可能，直接或间接地，无论好坏，对世界的舒适性产生丝毫影响。我帮助培养了其他数学家，但是和我自己一样的数学家，他们的工作，至少就我帮助他们的程度而言，和我自己的一样无用。以所有实际标准来判断，我的数学生活的价值为零；而在数学之外，它无论如何都是微不足道的。我只有一个机会摆脱完全微不足道的判决，那就是我可能被认为创造了一些值得创造的东西。而我创造了东西是不可否认的：问题在于它的价值。
那么，我的生活，或者任何其他与我一样意义上的数学家的一生的理由是：我为知识增添了一些东西，并帮助其他人增添了更多；而这些东西的价值与伟大的数学家，或任何其他留下某种纪念的艺术家，无论大小，其创作的价值，仅仅是在程度上有所不同，而不是在种类上有所不同。
注
布罗德教授和斯诺博士都向我指出，如果我要在科学所做的好事和坏事之间取得公平的平衡，我就不能过分沉迷于它对战争的影响；而且，即使我在思考这些影响时，我也必须记住，除了纯粹破坏性的影响之外，它还有许多非常重要的其他影响。因此（首先谈后一点），我必须记住：(a) 整个国家为战争而进行的组织只有通过科学方法才可能实现；(b) 科学极大地增强了几乎完全用于作恶的宣传力量；© 它使得“中立”几乎不可能或毫无意义，因此不再有“和平孤岛”，理智和恢复可以从那里在战后逐渐扩展开来。所有这些，当然，都倾向于加强反对科学的论点。另一方面，即使我们把这个论点推到极致，也很难认真地认为科学所造成的坏处没有完全被好处所抵消。例如，即使每次战争损失一千万人，科学的净效应仍然是增加了平均寿命。简而言之，我的第 节过于“感伤”了。
我不否认这些批评的公正性，但是，由于我在前言中陈述的原因，我发现无法在我的文本中回应它们，只能满足于此致谢。
斯诺博士还就第 节提出了一个有趣的观点。即使我们承认“当埃斯库罗斯被遗忘时，阿基米德仍将被铭记”，数学上的声誉难道不是有点太“匿名”以至于不能完全令人满意吗？我们可以仅从埃斯库罗斯（当然，更不用说莎士比亚或托尔斯泰了）的作品中形成一个相当连贯的关于他们个性的图景，而阿基米德和欧多克索斯则仍然仅仅是名字。
当我们经过特拉法加广场的纳尔逊纪念柱时，J. M. 洛马斯先生更形象地表达了这一点。如果我在伦敦的一根柱子上有一座雕像，我会更喜欢柱子高到雕像看不见，还是低到可以辨认出面部特征？我会选择第一种方案，斯诺博士大概会选择第二种。